Giải mục 4 trang 30,31,32 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x-\frac{1}{x}$

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y=x-\frac{1}{x}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}\ge 0\mathrm{\forall }x\in D$ nên hàm số đồng biến trên D

• Giới hạn và tiệm cận:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-\frac{1}{x})=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x-\frac{1}{x})=-\mathrm{\infty }$

$a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{x^2})=1;b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-\frac{1}{x}-x)=0$ nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x-\frac{1}{x})=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=\underset{x\to 0^{-}}{lim}(x-\frac{1}{x})=+\mathrm{\infty }$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Ta có: $y=0\iff x-\frac{1}{x}=0\iff x=1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=-1+\frac{1}{{(x+1)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\end{array}$

Trên các khoảng ($-\mathrm{\infty }$; -2), (0; $+\mathrm{\infty }$) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=+\mathrm{\infty }$

$a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2+x})=-1;b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1}+x)=2$ nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=+\mathrm{\infty }$ nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy

Ta có: $y=0\iff -x+2-\frac{1}{x+1}=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$; 0) và ($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;0)