Giải mục 1 trang 12, 13 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP1

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 12 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x+1$. Với mỗi $x\ge 1$, kí hiệu $S\left(x\right)$ là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại các điểm có hoành độ 1 và $x$.

a) Tính $S\left(3\right)$.

b) Tính $S\left(x\right)$ với mỗi $x\ge 1$.

c) Tính $S^{\prime }\left(x\right)$. Từ đó suy ra $S\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\left[1;+\mathrm{\infty }\right)$.

d) Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Chứng tỏ rằng $F\left(3\right)-F\left(1\right)=S\left(3\right)$. Từ đó nhận xét về cách tính $S\left(3\right)$ khi biết một nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

a, b) Gọi các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Tính độ dài các cạnh $AD$, $BC$ và $AB$, rồi sử dụng công thức tính diện tích hình thang $S_{ABCD}=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}$ để tính $S\left(3\right)$ ở câu a và $S\left(x\right)$ ở câu b.

c) Sử dụng công thức đạo hàm để tính $S^{\prime }\left(x\right)$ và kết luận.

d) Tính nguyên hàm của $f\left(x\right)$, sau đó tính $F\left(3\right)-F\left(1\right)$, so sánh với $S\left(3\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Gọi các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Dễ thấy rằng $ABCD$ là hình thang vuông có hai đáy là $AD$ và $BC$, chiều cao là $AB$.

Ta có $AB=3-1=2$, $AD=2$ và $BC=4$. Do đó diện tích hình thang $ABCD$ là:

$S\left(3\right)=\frac{\left(2+4\right).2}{2}=6$.

b) Tương tự câu a, nhưng hoành độ của $B$ là $x$, ta suy ra tung độ của $C$ là $x+1$.

Ta có $AB=x-1$, $AD=2$, $BC=x+1$. Do đó diện tích hình thang $ABCD$ là:

$S\left(x\right)=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}=\frac{\left(2+x+1\right)\left(x-1\right)}{2}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2}=\frac{x^2+2x-3}{2}$

c) Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x+2}{2}=x+1=f\left(x\right)$. Vậy $S\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

d) Do $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$, ta có:

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \left(x+1\right)dx=\frac{x^2}{2}+x+C$

Suy ra $F\left(3\right)=\frac{3^2}{2}+3+C=\frac{15}{2}+C$ và $F\left(1\right)=\frac{1^2}{2}+1+C=\frac{3}{2}+C$

Như vậy ta có $F\left(3\right)-F\left(1\right)=\left(\frac{15}{2}+C\right)-\left(\frac{3}{2}+C\right)=6=S\left(3\right)$.

Do đó, để tính $S\left(3\right)$ khi biết một nguyên hàm của $f\left(x\right)$, ta thực hiện tính nguyên hàm $F\left(x\right)$ của $f\left(x\right)$, sau đó ta tính $F\left(3\right)$ và $F\left(1\right)$, từ đó tính được $S\left(3\right)=F\left(3\right)-F\left(1\right)$.

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 13 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=e^x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$.

Phương pháp giải:

Tìm một nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)$, sau đó sử dụng công thức để tính diện tích hình thang cong $S=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số $y=f\left(x\right)=e^x$ liên tục và dương trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int e^{x}dx=e^x+C$, từ đó suy ra $F\left(x\right)=e^x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=e^x$.

Diện tích hình thang cong cần tính là: $S=F\left(1\right)-F\left(0\right)=e^1-e^0=e-1$.