Giải mục 1 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập $K\subset \mathbb{R}$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$.

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^2$ và dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ trên mỗi khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right),\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K

Lời giải chi tiết:

a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $f\left(x\right)$ là hàm số xác định trên K.

- Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi $x_1,x_2$ thuộc K và $x_1<x_2$ thì $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

- Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi $x_1,x_2$ thuộc K và $x_1<x_2$ thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

b)

- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

- Đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$âm khi $x<0$ và dương khi $x>0$.

- Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ nghịch biến khi $f^{\prime }\left(x\right)=2x$mang dấu âm và đồng biến khi $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ mang dấu dương.

- Ta có bàng biến thiên sau:

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều

Xét dấu $y^{\prime }$ rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số$y=\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x-1$.

Phương pháp giải:

B1: Tính $y^{\prime }$rồi lập bảng xét dấu của $y^{\prime }$.

B2. Dựa vào bảng xét dấu của $y^{\prime }$ để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^2-4x+1$.

Xét $y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{2}$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4+2x^2-3$.

Phương pháp giải:

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính $y^{\prime }$. Tìm các điểm mà tại đó $y^{\prime }=0$ hoặc $y^{\prime }$ không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3+4x$.

Xét $y^{\prime }=0\iff x=0$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^3$.

b) Xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

c) Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2$.

Xét $y^{\prime }=0\Rightarrow x=0$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm $y^{\prime }=3x^2$ luôn dương với mọi x.

c) Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có một nghiệm.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ nghịch biến trên nửa khoảng $(-\mathrm{\infty };0]$ và đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$.

Phương pháp giải:

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính $y^{\prime }$. Tìm các điểm mà tại đó $y^{\prime }=0$ hoặc $y^{\prime }$ không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Xét $y^{\prime }=0\iff x=0$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ nghịch biến trên nửa khoảng $(-\mathrm{\infty };0]$ và đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau $y=\frac{2x-1}{x+2}$.

Phương pháp giải:

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính $y^{\prime }$. Tìm các điểm mà tại đó $y^{\prime }=0$ hoặc $y^{\prime }$ không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Nhận xét: $y^{\prime }>0$ với mọi $x\in D$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-2;+\mathrm{\infty }\right)$.