Giải bài tập 14 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là \(\left( x \right)\) triệu đồng/1 tháng và số căn hộ cho thuê là \(\left( y \right)\). Khi đó, tổng số tiền thu được sẽ là \(\left( {xy} \right).\)

Theo đề bài, ta có: \(y = 20 - 5\left( {x - 2} \right)\) (vì cứ mỗi lần tăng giá thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống).

Do đó, ta cần tìm giá trị của (x) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {20 - 5\left( {x - 2} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $f\left( x \right)=30-10x$

$f\left( x \right)=0\to 30-10x=0\to x=3$

Cuối cùng, ta kiểm tra xem điểm cực này có phải là điểm cực đại hay không:

Xác định khoảng: \(\left[ { - \infty ,3} \right],\left[ {3, + \infty } \right]\)

Chọn ${{x}_{1}}=2\to f\left( x \right)=10$

Chọn ${{x}_{2}}=4\to f\left( x \right)=-10$

Vì đạo hàm dương với mọi \(x < 3\) là âm với mọi \(x > 3\) → hàm số cực đại tại \(x = 3\)

Vì vậy, công ty nên cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng/1 tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.