Giải mục 1 trang 17,18,19 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 17 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) (Hình 4). Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho \(1 \le x \le 2\) và \(0 \le y \le {x^2}\). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2}\), trục Ox và hai đường thẳng x = 1 và x = 2

Chia đoạn [1;2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: \({x_0} = 1,{x_1} = 1 + \frac{1}{n},{x_2} = 1 + \frac{2}{n},...,{x_{n - 1}} = 1 + \frac{{n - 1}}{n},{x_n} = 1 + \frac{n}{n} = 2\) (Hình 5)

a) Tính diện tích \({T_0}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_0};{x_1}]\) với chiều cao là \(f({x_0})\)

Tính diện tích \({T_1}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_1};{x_2}]\) với chiều cao là \(f({x_1})\)

Tính diện tích \({T_2}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_2};{x_3}]\) với chiều cao là \(f({x_2})\)

…

Tính diện tích \({T_{n - 1}}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_{n - 1}};{x_n}]\) với chiều cao là \(f({x_{n - 1}})\)

b) Đặt \({S_n} = {T_0} + {T_1} + {T_2} + ... + {T_{n - 1}}\). Chứng minh rằng: \({S_n} = \frac{1}{n}[f({x_0}) + f({x_1}) + f({x_2}) + ... + f({x_{n - 1}})]\). Tổng \({S_n}\) gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số \(f(x) = {x^2}\) trên đoạn [1;2]

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật

b) Biến đổi biểu thức cho thích hợp

Lời giải chi tiết:

a) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f(1).({x_1} - 1)\)

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1})\)

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2})\)

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}})\)
b) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f({x_0}).({x_0} + \frac{1}{n} - {x_0}) = \frac{{f({x_0})}}{n}\)

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1}) = f({x_1}).({x_1} + \frac{1}{n} - {x_1}) = \frac{{f({x_1})}}{n}\)

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2}) = f({x_2}).({x_2} + \frac{1}{n} - {x_2}) = \frac{{f({x_2})}}{n}\)

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}}) = f({x_{n - 1}}).({x_{n - 1}} + \frac{1}{n} - {x_{n - 1}}) = \frac{{f({x_{n - 1}})}}{n}\)

Vậy \({S_n} = {T_0} + {T_1} + {T_2} + ... + {T_{n - 1}} = \frac{1}{n}[f({x_0}) + f({x_1}) + f({x_2}) + ... + f({x_{n - 1}})]\)

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\)

a) Chứng tỏ \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\), \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) là các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2}\)

b) Chứng minh rằng \(F(b) - F(a) = G(b) - G(a)\), tức là hiệu số \(F(b) - F(a)\) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Lời giải chi tiết:

a) \(F'(x) = G'(x) = {x^2} = f(x)\) nên \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\), \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) là các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2}\)

b) \(F(b) - F(a) = \frac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{3}\)

\(G(b) - G(a) = \frac{{{b^3}}}{3} + C - \frac{{{a^3}}}{3} - C = \frac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{3}\)

=> \(F(b) - F(a) = G(b) - G(a)\)