Đề bài
Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.
A. \(m < \sqrt[3]{{ - 30}}\) B. \(0 < m < 1\)
C. \(m < 0\) D. \(m > \sqrt[3]{{ - 30}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp hàm số: Xét hàm \(y = f\left( x \right)\).
- Tính đạo hàm \(y'\).
- Biện luận nghiệm dựa vào các điểm cực trị (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Xét hàm \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\) có:
\(y' = {x^2} - mx = x\left( {x - m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\).
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = {x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì hàm số có hai điểm cực trị là \({x_1} = 0,{x_2} = m\).
Khi đó \({y_1} = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}{.0^3} - \frac{1}{2}m{.0^2} - 5 = - 5\)
\({y_2} = y\left( m \right) = \frac{1}{3}.{m^3} - \frac{1}{2}m.{m^2} - 5\) \(= - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5\).
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị sao cho \({y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\) hay \( - 5.\left( { - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{m^3} + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} > - 30 \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{{ - 30}}\).
Chọn D.
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian