Bài 1.82 trang 41 SBT giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số $y={\displaystyle \frac{x+2}{x-3}}$

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$.

Có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-5}{{\left(x-3\right)}^2}}<0,\mathrm{\forall }x\ne 3$ nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };3\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số đã cho không có cực trị.

TCĐ: $x=3$ và TCN $y=1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng giao điểm $I$ của hai tiệm cận của $\left(C\right)$ là tâm đối xứng của $\left(C\right)$.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận.

- Viết công thức đổi tọa độ suy ra phương trình của hàm số trong hệ tọa độ mới.

Công thức tịnh tiến hệ tọa độ:

Cho điểm $I\left(x_0;y_0\right),M\left(x;y\right)$ đối với hệ tọa độ $Oxy$.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{OI}$ là: $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

Khi đó điểm $I\left(0;0\right),M\left(X,Y\right)$ đối với hệ tọa độ $IXY$.

- Kiểm tra hàm số trong hệ tọa độ mới có làm hàm số lẻ hay không và kết luận.

Nếu hàm số $Y=g\left(X\right)$ là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới $IXY$) thì điểm $I\left(x_0;y_0\right)$ trong hệ tọa độ $Oxy$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

Giải chi tiết:

Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$.

Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left(3;1\right)$.

Thực hiện phép biến đổi: $\{\begin{array}{c}x=X+3\\ y=Y+1\end{array}$ ta được $Y+1={\displaystyle \frac{X+5}{X}}$$\iff Y={\displaystyle \frac{X+5}{X}}-1\iff Y={\displaystyle \frac{5}{X}}$.

Vì $Y={\displaystyle \frac{5}{X}}$ là hàm số lẻ nên đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ $I$ của hệ tọa độ $IXY$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận điểm $I\left(3;1\right)$ làm tâm đối xứng trong hệ tọa độ cũ.

LG c

Tìm điểm $M$ trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang.

Phương pháp giải:

- Gọi điểm $M(x_0;y_0)\in (C)$.

- Tính khoảng cách từ $M$ đến các đường tiệm cận.

- Lập phương trình ẩn $x_0$, dựa vào điều kiện khoảng cách bằng nhau của đề bài.

- Giải phương trình tìm $x_0$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử  $M(x_0;y_0)\in (C)$.

Gọi $d_1$ là khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng và $d_2$ là khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang, ta có: $d_1=\left|x_0-3\right|,$$d_2=\left|y_0-1\right|={\displaystyle \frac{5}{|x_0-3|}}$

Suy ra $\left|x_0-3\right|={\displaystyle \frac{5}{\left|x_0-3\right|}}$ $\iff {\left(x_0-3\right)}^2=5$ $\iff [\begin{array}{l}{x}_0-3=\sqrt{5}\\ x_0-3=-\sqrt{5}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}{x}_0=3+\sqrt{5}\\ x_0=3-\sqrt{5}\end{array}$

Với $x_0=3+\sqrt{5}\Rightarrow y_0=1+\sqrt{5}$ nên ta có điểm $M\left(3+\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right)$.

Với $x_0=3-\sqrt{5}\Rightarrow y_0=1-\sqrt{5}$ nên ta có điểm $M\left(3-\sqrt{5};1-\sqrt{5}\right)$.

Vậy có hai điểm $M_1\left(3+\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right)$ và $M_2\left(3-\sqrt{5};1-\sqrt{5}\right)$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]