Bài 2.59 trang 131 SBT giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

LG a

${\displaystyle 3^{|x-2|}<9}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle 3^{|x-2|}<9}$

${\displaystyle \iff 3^{|x-2|}<3^2\iff |x-2|<2}$

${\displaystyle \iff -2<x-2<2}$ ${\displaystyle \iff 0<x<4}$

LG b

${\displaystyle 4^{|x+1|}>16}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle 4^{|x+1|}>16}$

${\displaystyle \iff 4^{|x+1|}>4^2\iff |x+1|>2}$

${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x+1>2\\ x+1<-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<-3\end{array}}$

LG c

${\displaystyle 2^{-x^2+3x}<4}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle 2^{-x^2+3x}<4}$

${\displaystyle \iff 2^{-x^2+3x}<2^2}$${\displaystyle \iff -x^2+3x<2}$ ${\displaystyle \iff x^2-3x+2>0}$ ${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x<1\\ x>2\end{array}}$

LG d

${\displaystyle {\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle {\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}}$

${\displaystyle \iff {\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge {\left(\frac{7}{9}\right)}^{-1}}$${\displaystyle \iff 2x^2-3x\le -1}$ ${\displaystyle \iff 2x^2-3x+1\le 0}$ ${\displaystyle \iff \frac{1}{2}\le x\le 1}$

LG e

${\displaystyle {11}^{\sqrt{x+6}}\ge {11}^x}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle {11}^{\sqrt{x+6}}\ge {11}^x}$

${\displaystyle \iff \sqrt{x+6}\ge x}$${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x+6\ge 0\\ x<0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x+6\ge x^2\end{array}\end{array}}$ ${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x\ge -6\\ x<0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x^2-x-6\le 0\end{array}\end{array}}$ ${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}-6\le x<0\\ \{\begin{array}{c}-2\le x\le 3\\ x\ge 0\end{array}\end{array}}$

${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}-6\le x<0\\ 0\le x\le 3\end{array}}$${\displaystyle \iff -6\le x\le 3}$

LG g

${\displaystyle 2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge 448}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\iff 2^{2x}{.2}^{-1}+2^{2x}{.2}^{-2}+2^{2x}{.2}^{-3}\ge 448\\ \iff 2^{2x}.\frac{1}{2}+2^{2x}.\frac{1}{2^2}+2^{2x}.\frac{1}{2^3}\ge 448\end{array}$

${\displaystyle \iff \frac{1}{2}{.2}^{2x}+\frac{1}{4}{.2}^{2x}+\frac{1}{8}{.2}^{2x}\ge 448}$

$\begin{array}{l}\iff \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right){.2}^{2x}\ge 448\\ \iff \frac{7}{8}{.2}^{2x}\ge 448\end{array}$

${\displaystyle \iff 2^{2x}\ge 512}$ ${\displaystyle \iff 2^{2x}\ge 2^9}$ $\iff 2x\ge 9$ $\iff x\ge \frac{9}{2}$

LG h

${\displaystyle {16}^x-4^x-6\le 0}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{16}^x-4^x-6\le 0\\ \iff 4^{2x}-4^x-6\le 0\\ \iff {\left(4^x\right)}^2-4^x-6\le 0\end{array}$

Đặt ${\displaystyle t=4^x>0}$, ta có:

$t^2-t-6\le 0$

$\iff -2\le t\le 3$

Kết hợp $t>0$ ta được $0<t\le 3$

${\displaystyle \Rightarrow 0<4^x\le 3}$

${\displaystyle \iff x\le {\log }_{4}3}$. 

LG i

${\displaystyle \frac{3^x}{3^x-2}<3}$

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu ${\displaystyle a>1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m>n}$.

+ Nếu ${\displaystyle 0<a<1}$ thì ${\displaystyle a^m>a^n\iff m<n}$.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle \frac{3^x}{3^x-2}<3}$

${\displaystyle \iff \frac{3^x}{3^x-2}-3<0}$ $\iff \frac{3^x-{3.3}^x+6}{3^x-2}<0$ ${\displaystyle \iff \frac{-{2.3}^x+6}{3^x-2}<0}$ $\iff \frac{-2\left(3^x-3\right)}{3^x-2}<0$

${\displaystyle \iff \frac{3^x-3}{3^x-2}>0\iff [\begin{array}{l}{3}^x>3\\ 3^x<2\end{array}}$ ${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<{\log }_{3}2\end{array}}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]