Bài 2.66 trang 133 SBT giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

LG a

\(\displaystyle y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}} = {\left( {2 + 3x} \right)^{ - 2}}\)\(\displaystyle  \Rightarrow y' =  - 2\left( {2 + 3x} \right)'{\left( {2 + 3x} \right)^{ - 3}}\) \( =  - 2.3.{\left( {2 + 3x} \right)^{ - 2}}\) \(\displaystyle  =  - 6{(2 + 3x)^{ - 3}}\)

LG b

\(\displaystyle y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

 Với \(\displaystyle x > \frac{2}{3}\) thì \(\displaystyle y = {\left( {3x - 2} \right)^{\frac{2}{3}}}\) nên

\(\displaystyle y' = \frac{2}{3}\left( {3x - 2} \right)'.{\left( {3x - 2} \right)^{\frac{2}{3} - 1}}\) \( = \frac{2}{3}.3.{\left( {3x - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}= 2{(3x - 2)^{ - \frac{1}{3}}} \) \(= 2.\frac{1}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}= \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}\).

Với \(\displaystyle x < \frac{2}{3}\) thì \(\displaystyle y =  - {\left( {2 - 3x} \right)^{\frac{2}{3}}}\) nên

\(\displaystyle y' =  - \frac{2}{3}.\left( {2 - 3x} \right)'.{\left( {2 - 3x} \right)^{\frac{2}{3} - 1}} \) \(=  - \frac{2}{3}.(-3).{\left( {2 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}} \) \(=   2{\left( {2 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}} =  2.\frac{1}{{{{\left( {2 - 3x} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\) \(\displaystyle  = \frac{{ 2}}{{\sqrt[3]{{2 - 3x}}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}\).

Vậy \(\displaystyle y' = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)\).

LG c

\(\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\displaystyle x > \frac{7}{3}\) thì \(\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}} = {\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) nên \(\displaystyle y' =  - \frac{1}{3}.3{\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) \(\displaystyle  =  - {\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{4}{3}}} =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 7} \right)}^4}}}}}\)

Với \(\displaystyle x < \frac{7}{3}\) thì \(\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}} =  - {\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) nên:

\(\displaystyle y' = \frac{1}{3}.\left( { - 3} \right){\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) \(\displaystyle  =  - {\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{4}{3}}} =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^4}}}}}\)\(\displaystyle  =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 7} \right)}^4}}}}}\)

Vậy \(\displaystyle y' =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(3x - 7)}^4}}}}}\)

LG d

\(\displaystyle y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x\) \(\displaystyle  \Rightarrow y' = 3.\left( { - 3} \right).{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}\) \(\displaystyle  =  - 9{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}\)

LG e

\(\displaystyle y = (3{x^2} - 2){\log _2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = (3{x^2} - 2){\log _2}x\)

\(\displaystyle  \Rightarrow y'  = \left( {3{x^2} - 2} \right)'{\log _2}x + \left( {3{x^2} - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x} \right)'\) \(= 6x{\log _2}x + \left( {3{x^2} - 2} \right).\frac{1}{{x\ln 2}}\) \(\displaystyle  = 6x{\log _2}x + \frac{{3{x^2} - 2}}{{x\ln 2}}\)

LG g

\(\displaystyle y = \ln (\cos x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = \ln (\cos x)\)\(\displaystyle  \Rightarrow y' = \frac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{\cos x}}\) \(\displaystyle  =  - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} =  - \tan x\)

LG h

\(\displaystyle y = {e^x}\sin x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = {e^x}\sin x\)

\(\displaystyle  \Rightarrow y'  = \left( {{e^x}} \right)'\sin x + {e^x}\left( {\sin x} \right)'\) \(= {e^x}\sin x + {e^x}\cos x\) \(\displaystyle  = {e^x}(\sin x + \cos x)\)

LG i

\(\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) \(\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

+) \(\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a\)

+) \(\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

+) \(\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

+) \(\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}\)

\( \Rightarrow y'  = \frac{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)'.x - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right).\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\) \(\displaystyle  = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)x - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{x^2}}}\) \(\displaystyle  = \frac{{x({e^x} + {e^{ - x}}) - {e^x} + {e^{ - x}}}}{{{x^2}}}\)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]