Bài 1.58 trang 24 SBT hình học 12

2024-09-14 19:36:31

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = AC\). Mặt phẳng qua \(A\) vuông góc với \(SC\) cắt \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(B',C',D'\). Tỉ số giữa thể tích hình chóp \(S.AB'C'D'\) và thể tích hình chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(\dfrac{1}{6}\)                 B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(\dfrac{1}{3}\)                 D. \(\dfrac{1}{2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng mặt phẳng \(\left( {AB'C'D'} \right)\) và tính tỉ số các đoạn thẳng \(\dfrac{{SB'}}{{SB}},\dfrac{{SC'}}{{SC}},\dfrac{{SD'}}{{SD}}\).

- Tính tỉ số thể tích hai hình chóp bằng cách chia thành các hình chóp tam giác.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\Delta SAC\) vuông cân và \(SC \bot AC'\) nên \(C'\) là trung điểm của \(SC\).

Gọi \(I = AC \cap BD\) và \(J = SI \cap AC'\).

Khi đó \(J\) là trọng tâm của \(\Delta SAC\).

Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

Mà \(SC \bot \left( {AB'C'D'} \right)\) \( \Rightarrow BD// (AB'C'D')\).

Do đó \(BD//B'D'\) \( \Rightarrow \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SJ}}{{SI}} = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\) \( = 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( = 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}}\) \( = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}} + {V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\)

Vậy \(\dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}\).

Chọn C.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"