Bài 1.54 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên đáy $\left(ABC\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ và cạnh bên tạo với đáy một góc ${60}^0$. Thể tích của hình lăng trụ là:

A. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}{a}^3$                      B. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}{a}^3$

C. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}^3$                      D. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{a}^3$

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Khi đó $A^{\prime }G\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và góc giữa $A^{\prime }A$ và $\left(ABC\right)$ là $\widehat{A^{\prime }AG}={60}^0$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $S_{ABC}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ và $AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$.

Tam giác $A^{\prime }AG$ vuông tại $G$ có $AG={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$ và $\widehat{A^{\prime }AG}={60}^0$ nên $A^{\prime }G=AG\tan {60}^0=a$.

Vậy thể tích $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{ABC}.A^{\prime }G={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}.a={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}}$.

Chọn C.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]