Bài 1.53 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $M,N$. Biết rằng $SA=AC=5$, $AB=3,BC=4$. Thể tích khối chóp $S.AMN$ bằng

A. ${\displaystyle \frac{125}{68}}$                     B. ${\displaystyle \frac{125}{34}}$

C. ${\displaystyle \frac{175}{34}}$                     D. ${\displaystyle \frac{125}{17}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $SC\mathrm{\perp }\left(AMN\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}SC\mathrm{\perp }AM\\ SC\mathrm{\perp }MN\end{array}$.

Tam giác $ABC$ có:

$A{C}^2=5^2=25$

$A{B}^2+B{C}^2=3^2+4^2=25$

nên $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ hay tam giác ABC vuông tại $B$.

Suy ra $AB\mathrm{\perp }BC$, mà $SA\mathrm{\perp }BC$ nên $BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SB$.

Xét tam giác SMN và SCB có: $\widehat{SNM}=\widehat{SBC}={90}^0$ và chung góc S

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SMN\backsim \mathrm{\Delta }SCB\left(g-g\right)$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{SMN}}{S_{SCB}}}={\left({\displaystyle \frac{SN}{SB}}\right)}^2$

Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ có $AN\mathrm{\perp }SC$ $\Rightarrow SN={\displaystyle \frac{1}{2}}SC={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{5^2+5^2}={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$.

Tam giác $SAB$ có $SA=5,AB=3\Rightarrow SB=\sqrt{34}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{SMN}}{S_{SCB}}}={\left({\displaystyle \frac{SN}{SB}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{68}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{25}{68}}$.

Mà $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SA.S_{ABC}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.5.{\displaystyle \frac{1}{2}}.3.4=10$ nên $V_{S.AMN}={\displaystyle \frac{25}{68}}.10={\displaystyle \frac{125}{34}}$.

Chọn B.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]