Bài 3.42 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng: $d:{\displaystyle \frac{x-1}{-1}}={\displaystyle \frac{y-2}{2}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=1+t^{\prime }\\ y=3-2t^{\prime }\\ z=1\end{array}$

Lập phương trình đường vuông góc chung của $d$ và $d^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3t\end{array}$

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ lần lượt là $\overrightarrow{a}=(-1;2;3),\overrightarrow{a^{\prime }}=(1;-2;0)$.

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có  $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(t^{\prime }+t;1-2t^{\prime }-2t;1-3t)$.

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

$\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{M{M}^{\prime }}.\overrightarrow{a}=0\\ \overrightarrow{M{M}^{\prime }}.\overrightarrow{a^{\prime }}=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}-t^{\prime }-t+2-4t^{\prime }-4t+3-9t=0\\ t^{\prime }+t-2+4t^{\prime }+4t=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}5t^{\prime }+14t=5\\ 5t^{\prime }+5t=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ t^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{15}}\end{array}$

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là $M\left({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{8}{3}};1\right),M^{\prime }\left({\displaystyle \frac{16}{15}};{\displaystyle \frac{43}{15}};1\right)$

Do đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left({\displaystyle \frac{6}{15}};{\displaystyle \frac{3}{15}};0\right)$

Suy ra đường vuông góc chung $\mathrm{\Delta }$ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1;0)$

Vậy phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2}{3}}+2t\\ y={\displaystyle \frac{8}{3}}+t\\ z=1\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]