Đề bài
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z = - 3t'}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, sử dụng công thức:
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
ở đó \(\Delta ' \subset \left( \alpha \right),\Delta //\left( \alpha \right)\) và \(M \in \Delta \).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\).
Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (1; - 1;0)\) và \(\overrightarrow u ' = ( - 1;1;1)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\)
\((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = (1;1;0)\)
Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \(x – 1 + y + 1=0 \) hay \(x + y = 0\)
Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)
\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2 + 2|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)
b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:
\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z = - 3t'}\end{array}} \right.\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0
Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\).
Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|5.(2) - 22|}}{{\sqrt {81 + 25 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian