Bài 3.38 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ trong các trường hợp sau:

a) $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1-t\\ z=1\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2-3t^{\prime }\\ y=2+3t^{\prime }\\ z=3t^{\prime }\end{array}$

b) $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=4-t\\ z=-1+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=t^{\prime }\\ y=2-3t^{\prime }\\ z=-3t^{\prime }\end{array}$

Lời giải chi tiết

a) Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $\mathrm{\Delta }$ và song song với ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên $(\alpha )$ là:  $\overrightarrow{u}=(1;-1;0)$  và ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(-1;1;1)$.

Suy ra  $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{u^{\prime }},\overrightarrow{u}\right]=\left(-1;-1;0\right)$

$(\alpha )$ đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc $\mathrm{\Delta }$ và có vecto pháp tuyến:  $\overrightarrow{n_{{\alpha }^{\prime }}}=(1;1;0)$

Vậy phưong trình của mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $x–1+y+1=0$ hay $x+y=0$

Ta có: M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$

$d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=d(M_2,(\alpha ))$$={\displaystyle \frac{|2+2|}{\sqrt{1+1}}}=2\sqrt{2}$

b) Hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có phương trình là:

$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=4-t\\ z=-1+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=t^{\prime }\\ y=2-3t^{\prime }\\ z=-3t^{\prime }\end{array}$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $\mathrm{\Delta }$ và song song với ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Ta có $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=d(M^{\prime },(\alpha ))$$={\displaystyle \frac{|5.(2)-22|}{\sqrt{81+25+4}}}={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{110}}}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ là ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{110}}}$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]