Bài 3.54 trang 133 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=6\\ y=-2t\\ z=7+t\end{array}$  và  d₁:  $\{\begin{array}{c}x=-2+t^{\prime }\\ y=-2\\ z=-11-t^{\prime }\end{array}$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Hình 3.32

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}(0;-2;1)$.

Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{b}(1;0;-1)$.

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: $\overrightarrow{AB}=(-8+t^{\prime };-2+2t;-18-t-t^{\prime })$

Ta có: $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\mathrm{\perp }\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{AB}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{b}=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}-2(-2+2t)+(-18-t-t^{\prime })=0\\ -8+t^{\prime }-(-18-t-t^{\prime })=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}-5t-t^{\prime }-14=0\\ t+2t^{\prime }+10=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=-2\\ t^{\prime }=-4\end{array}$

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-12;-6;-12)$. Chọn $\overrightarrow{n_P}=(2;1;2)$

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Chú ý:

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁ là là  $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}& \begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\end{array}\right|\right)$$=\left(2;1;2\right)$

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{a},\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\right]$$=\left(\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}& \begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\end{array}\right|\right)$ $=\left(-5;2;4\right)$

Phương trình của (Q) là : $–5(x–6)+2y+4(z–7)=0$ hay $–5x+2y+4z+2=0$

Để tìm  $d_1\cap (Q)$  ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

$–5(–2+t^{\prime })+2(–2)+4(–11–t^{\prime })+2=0$ $\Rightarrow t^{\prime }=4$

$\Rightarrow d_1\cap \left(Q\right)=B\left(-6;-2;-7\right)$

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa $d_1$ và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: $\overrightarrow{n_R}=(-1;4;-1)$

Phương trình của (R) là $–x+4y–z–5=0$.

Suy ra  $d\cap (R)=A(6;4;5)$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]