Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

$f\left(x\right)=\sqrt{3-2x}$ trên đoạn $\left[-3;1\right]$;

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{3-2x}}<0$ với mọi $x<\frac{3}{2}$

Hàm số $f$ nghịch biến trên đoạn $\left[-3;1\right]$

Do đó $\underset{x\in \left[-3;1\right]}{maxf\left(x\right)}=f\left(-3\right)=3$; $\underset{x\in \left[-3;1\right]}{minf\left(x\right)}=f\left(1\right)=1$

Cách khác:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{3-2x}}=0$ vô nghiệm trên đoạn [-3;1] 

Mà $f\left(-3\right)=3$; $f\left(1\right)=1$.

Do đó $\underset{x\in \left[-3;1\right]}{maxf\left(x\right)}=f\left(-3\right)=3$; $\underset{x\in \left[-3;1\right]}{minf\left(x\right)}=f\left(1\right)=1$

LG b

$f\left(x\right)=x+\sqrt{4-x^2}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\left[-2;2\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$ với $x\in \left(-2;2\right)$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0$ $\iff \sqrt{4-x^2}=x\iff \{\begin{array}{c}0<x<2\hfill \\ 4-x^2=x^2\hfill \end{array}$ $\iff x=\sqrt{2}$

Ta có $f\left(-2\right)=-2;f\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2};$ $f\left(2\right)=2$

Vậy $\underset{x\in \left[-2;2\right]}{maxf\left(x\right)}=2\sqrt{2};$ $\underset{x\in \left[-2;2\right]}{minf\left(x\right)}=-2$

Cách khác:

BBT:

Vậy $\underset{x\in \left[-2;2\right]}{maxf\left(x\right)}=2\sqrt{2};$ $\underset{x\in \left[-2;2\right]}{minf\left(x\right)}=-2$

LG c

$f\left(x\right)={\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x+2;$ 

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $f\left(x\right)={\sin }^{4}x+1-{\sin }^{2}x+2$ $={\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x+3$

Đặt $t={\sin }^{2}x;0\le t\le 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số $g\left(t\right)=t^2-t+3$ trên đoạn $\left[0;1\right]$

$g^{\prime }\left(t\right)=2t-1$

$g^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=\frac{1}{2}$

Ta có: $g\left(0\right)=3;g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{14};g\left(1\right)=3$

Do đó:  $\underset{t\in \left[0;1\right]}{ming\left(t\right)}=\frac{11}{14};\underset{t\in \left[0;1\right]}{maxg\left(t\right)}=3$

Vậy: $\underset{x\in \mathbb{R}}{minf\left(x\right)}=\frac{11}{14}$ đạt được khi ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$ $\iff \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}$ $\iff 1-\cos 2x=1$ $\iff \cos 2x=0$ $\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$

$\underset{x\in \mathbb{R}}{maxf\left(x\right)}=3$ đạt được khi $x=\frac{k\pi }{2}$

LG d

$f\left(x\right)=x-\sin 2x$ trên đoan $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=1-2\cos 2x;$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ $\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ $\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Với $-\frac{\pi }{2}<x<\pi ,f^{\prime }\left(x\right)=0$ tại các điểm $-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}$ và $\frac{5\pi }{6}$

Ta có $f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2};$ $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2};$ $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2};f\left(\pi \right)=\pi$
So sánh năm giá trị trên ta được:
$\underset{x\in \left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]}{maxf\left(x\right)}=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\underset{x\in \left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]}{minf\left(x\right)}=-\frac{\pi }{2}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]