Bài 57 trang 55 SGK giải tích 12 nâng cao

2024-09-14 19:39:09

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số:

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(f'(x)=6x^2+6x\)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;-1)\) và \((0; + \infty )\)

- Hàm số nghịch biến trên \((-1;0)\)

- Hàm số đạt cực tại \(x=-1;y_{CĐ}=2\)

- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;y_{CT}=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\), đi qua điểm (-1;2).

Điểm uốn:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 <=> 12x+6=0

<=> x=-1/2 => y=3/2


LG b

Tìm các giao điểm của đường cong \((C)\) và parabol:

\((P):\,\,\,g\left( x \right) = 2{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong \((C)\) và paraobol \((P)\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \,\,\,\,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \cr&\Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với \(x = 0\) ta có \(y = 1\); với \(x =  - {1 \over 2}\) ta có \(y = {3 \over 2}\)

Ta có giao điểm \(A(0;1)\) và \(B\left( { - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)


LG c

Viết phương trình các tiếp tuyến của \((C)\) và \((P)\) tại mỗi giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x;\,g'\left( x \right) = 4x\)

\(f'\left( 0 \right) = 0;\,g'\left( 0 \right) = 0\).

Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến chung của \((C)\) và \((P)\) tại điểm \(A(0;1)\).

Ta có: \(f'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2}\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(B\) là: 

\(y =  - {3 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y =  - {3 \over 2}x + {3 \over 4}\)

Lại có: \(g'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - 2\).

Phương trình tiếp tuyến của parabol \((P)\) tại điểm \(B\) là:

\(y =  - 2\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y =  - 2x + {1 \over 2}\)


LG d

Xác định các khoảng trên đó \((C)\) nằm phía trên hoặc phía dưới \((C)\).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\)

\(= 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 \)

\(= 2{x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\)

Xét dấu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\):

Do đó \(f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{2}\) nên trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) thì \((C)\) nằm phía dưới \((P)\)

\(f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \frac{1}{2}\\
x \ne 0
\end{array} \right.\) thì \(f(x) > g(x)\) hay đồ thị (C) nằm phía trên (P) trên các khoảng \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"