Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh:

LG a

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2;\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(4 \pm 2\sqrt 3  \)

\(= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 \)

\(= {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

nên

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)

\(\begin{array}{l}
= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\
= \left| {\sqrt 3 + 1} \right| - \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\
= \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\\
= 2
\end{array}\)

LG b

\(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)

Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\)

\( = 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  \) \(+ 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)\(.\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right) \)

\( = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\).

Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\)

Mà \({x^3} - 3x - 18\) \( = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên (*) \( \Leftrightarrow \) x=3

(vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]