Bài 70 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\eqalign{& \,{3^{4^x}} = {4^{3^x}} \cr} \) 

Phương pháp giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế.

Lời giải chi tiết:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

\(\eqalign{
&{3^{4^x}} = {4^{3^x}} \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{{4^x}}}} \right) = {\log _3}\left( {{4^{{3^x}}}} \right)\cr &\Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 = {3^x}{\log _3}4 \cr &\Leftrightarrow {{{4^x}} \over {{3^x}}} = \frac{{{{\log }_3}4}}{{{{\log }_3}3}} = {\log _3}4 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{4 \over 3}} \right)^x} = {\log _3}4 \cr &\Leftrightarrow x = {\log _{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right) \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)} \right\}\)

LG b

\(\eqalign{& \,{3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \cr} \)          

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\eqalign{
& {3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow {{{3^2}} \over {{3^{{{\log }_3}x}}}} = 81x \cr 
& \Leftrightarrow {9 \over x} = 81x \Leftrightarrow 9 = 81{x^2}\cr &\Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\,\,\left( {\text{ vì }\,x > 0} \right) \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\)

LG c

\(\eqalign{
&\,{3^x}{.8^{{x \over {x + 1}}}} = 36 \cr } \)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x\ne -1\)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}
{\log _3}\left( {{3^x}{{.8}^{\frac{x}{{x + 1}}}}} \right) = {\log _3}36\\
\Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = {\log _3}\left( {{3^2}{{.2}^2}} \right)\\
\Leftrightarrow x + \frac{x}{{x + 1}}{\log _3}8 = {\log _3}{3^2} + {\log _3}{2^2}\\
\Leftrightarrow x + \frac{{3x}}{{x + 1}}{\log _3}2 = 2 + 2{\log _3}2\\
\Rightarrow x\left( {x + 1} \right) + 3x{\log _3}2 = 2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right){\log _3}2\\
\Leftrightarrow {x^2} + x + 3x{\log _3}2 - 2x - 2 - 2x{\log _3}2 - 2{\log _3}2 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + x\left( {{{\log }_3}2 - 1} \right) - 2{\log _3}2 - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 1 - {\log _3}2
\end{array} \right.(TM)
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {2; - 1 - {{\log }_3}2} \right\}\)

LG d

\(\eqalign{&\,{x^6}{.5^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}} \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\); 
Lấy logarit cơ số x hai vế ta được:

\({\log _x}\left( {{x^6}{{.5}^{ - {{\log }_x}5}}} \right) = {\log _x}\left( {{5^{ - 5}}} \right) \) \(\Leftrightarrow {\log _x}\left( {{x^6}} \right) + {\log _x}\left( {{5^{ - {{\log }_x}5}}} \right) =  - 5{\log _x}5\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 6 + \left( { - {{\log }_x}5} \right).{\log _x}5 = - 5{\log _x}5 \cr 
& \Leftrightarrow \log _x^25 - 5{\log _x}5 - 6 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _x}5 = - 1 \hfill \cr 
{\log _x}5 = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5 = {x^{ - 1}} \hfill \cr 
5 = {x^6} \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr 
x = \root 6 \of 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 5};\root 6 \of 5 } \right\}\)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]