Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln {1 \over {1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy' + 1 = {e^y}\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(x > -1\).

Ta có \(y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)=  - \ln \left( {1 + x} \right) \)

\(\Rightarrow y' =  - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}=  - {1 \over {1 + x}}\)

Khi đó: \(xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1  = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}\)

Lại có \({e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}\)

Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\)

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

\(\begin{array}{l}
y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\
y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{1 + x}}
\end{array}\)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]