Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):
LG a
\({z^3} + 1 = 0\);
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.
\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\)
Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\)
\({z^2} - z + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)
LG b
\({z^4} - 1 = 0\);
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
\({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \pm 1 \hfill \cr z = \pm i \hfill \cr} \right.\)
Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} = - i,{z_3} = 1,{z_4} = - 1\)
LG c
\({z^4} + 4 = 0\)
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
\({z^4} + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^4} - {\left( {2i} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\)
Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} = - 1 + i\)
(Do \({\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 = - 2i\))
Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} = - 1 - i\)
(Do \({\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i - 1 = 2i\))
Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
LG d
\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\)
Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\)
Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\)
Phương trình \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 = - 3\) nên có nghiệm là \({z_3} = - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và \({z_4} = - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian