Bài tập trắc nghiệm khách quan trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Câu 24

Hàm số $f(x)=e^{\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1}$

(A) Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ,1)$ và $(3,+\infty )$

(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ,1)$ và $(3,+\infty )$

(C) Đồng biến trên khoảng $(-\infty ,1)$ và nghịch biến trên khoảng $(3,+\infty )$

(D) Nghịch biến trên khoảng $(-\infty ,1)$  và đồng biến trên khoảng $(3,+\infty )$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=(x^2-4x+3)e^{\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1}\\ & f^{\prime }(x)=0\iff x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Chọn (A)

Câu 25

Hàm số f(x) = sin²x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

(A) $-\frac{1}{2}$

(B) 0

(C) -1

(D) $-\frac{1}{3}$

Lời giải chi tiết:

Đặt  t = sin x; t ∈ [-1, 1]

f(x) = g(t) = t² – 2t

g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1

g( - 1) = 3

g(1) = -1

Vậy $\underset{x\in R}{min}f(x)=-1$

Chọn (C)

Câu 26

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y=\sqrt{x^2+x}$ . Khi đó

(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi $x\to +\mathrm{\infty }$ )

(B) Đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của (C) (khi $x\to +\mathrm{\infty }$  )

(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi $x\to +\mathrm{\infty }$  )

(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi $x\to +\mathrm{\infty }$  )

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{rl}& a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1\\ & b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{a}\mathrm{x}]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}-x)\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{2}\end{array}$ 

Vậy $y=x+\frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của (C) khi $x\to +\infty$

Chọn B

Câu 27

Đồ thị của hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với

(A) Parabol y = 2x² -1

(B) Parabol y = x²

(C) Parabol y = -x² + 2x

(D) Đường thẳng y = 2x + 1

Lời giải chi tiết:

Xét f(x) = x³ – x + 1 ; g(x) = x²

Ta có:

$\{\begin{array}{c}f(1)=g(1)=1\hfill \\ f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)=2\hfill \end{array}$ 

Nên đồ thị hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với (P)

y = x² tại (1, 1)

Chọn (B)

Câu 28

Cho hai số dương a và b. Đặt 

$\{\begin{array}{c}X=\ln \frac{a+b}{2}\hfill \\ Y=\frac{\ln a+\ln b}{2}\hfill \end{array}$

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\ & \Rightarrow \ln \frac{a+b}{2}\ge \ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}(lna+\ln b)\\ & \Rightarrow X\ge Y\end{array}$

Chọn (C)

Câu 29

Cho hai số không âm a và b.

Đặt

$\{\begin{array}{c}X=e^{\frac{a+b}{2}}\hfill \\ Y=\frac{e^a+e^b}{2}\hfill \end{array}$

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 $Y=\frac{e^a+e^b}{2}\ge \sqrt{e^a.e^b}=e^{\frac{a+b}{2}}=X$

Vậy chọn (D)

Câu 30

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log₂x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log₂2(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:

$\begin{array}{rl}& (A)\overrightarrow{v}=(3,1)\\ & (B)\overrightarrow{v}=(3,-1)\\ & (C)\overrightarrow{v}=(-3,1)\\ & (D)\overrightarrow{v}=(-3,-1)\end{array}$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

log₂2(x + 3) = 1 + log₂ (x + 3)

y = log₂x  $\to$ Tịnh tiến trái 3 đơn vị

y = log₂ (x + 3) $\to$ Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị $\to$ y = 1 + log₂ (x + 3)

Chọn (C)

Câu 31

Cho hàm số f(x) = log₅(x² + 1). Khi đó:

(A) $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2\ln 5}$

(B) $f^{\prime }(1)=\frac{1}{\ln 5}$

(C) $f^{\prime }(1)=\frac{3}{2\ln 5}$

(D) $f^{\prime }(1)=\frac{2}{\ln 5}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}.\frac{1}{\ln 5}\Rightarrow f^{\prime }(1)=\frac{1}{\ln 5}$

Chọn (B)

Câu 32

Biết rằng đồ thị của hàm số y = a^x và đồ thị của hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm $\left(\sqrt{2^{-1}};\sqrt{2}\right)$. Khi đó 

(A) a > 1 và b > 1

(B) a > 1 và 0 < b < 1

(C) 0 < a < 1 và b > 1

(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\{\begin{array}{c}{a}^{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\hfill \\ {\log }_b\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\log }_a\sqrt{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}>0\hfill \\ {\log }_b\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}>0\hfill \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}a>1\hfill \\ 0<b<1\hfill \end{array}$ 

Chọn (B)

Câu 33

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^4+3}{x^2}$ . Khi đó

(A) $\int f(x)dx=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

(B) $\int f(x)dx=\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{x}+C$

(C) $\int f(x)dx=2x^3-\frac{3}{x}+C$

(D)$\int f(x)dx=\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{2x}+C$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\int f(x)dx=\int (2x^2+\frac{3}{x^2})dx=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

Chọn (A)

Câu 34

Đẳng thức $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\cos (x+a^2)dx=sina$ xảy ra nếu:

$(A)a–\pi$ 

$\begin{array}{rl}& (B)a=\sqrt{\pi }\\ & (C)a=\sqrt{3\pi }\\ & (D)a=\sqrt{2\pi }\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \underset{0}{\overset{a}{\int }}\cos (x+a^2)dx=\sin (x+a^2){|}_0^a\\ & =\sin (a+a^2)-\sin a^2=\sin a\\ & \iff \sin (a+a^2)=\sin a^2+\sin a\end{array}$ 

Với $a=\sqrt{2\pi }\Rightarrow \sin (\sqrt{2\pi }+2\pi )=\sin 2\pi +\sin \sqrt{2\pi }$

$\iff \sin \sqrt{2\pi }=\sin \sqrt{2\pi }$

Chọn (D)

Câu 35

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln \frac{k}{x}dx<e-2$ 

Khi đó:

(A) S = {1}

(B) S = {2}

(C) S = {1, 2}

(D) S = Ø

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln \frac{k}{x}dx=\underset{1}{\overset{e}{\int }}(\ln k-\ln x)dx=(e-1)\ln k-\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln xdx$

Đặt 

$\{\begin{array}{c}u=\ln x\hfill \\ dv=dx\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}du=\frac{1}{x}dx\hfill \\ v=x\hfill \end{array}$

Do đó:

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln xdx=x\ln x{|}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}dx=e-(e-1)=1$

Vậy:

$\begin{array}{rl}& \underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln \frac{k}{x}dx<e-2\iff (e-1)\ln k-1<e-2\\ & \iff \mathrm{lnk}<1\iff 0<k<e\iff k\in \{1,2\}\end{array}$

Chọn (C)

Câu 36

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

$\alpha =z^2+{\left(\bar{z}\right)}^2;\beta =z.\bar{z}+i\left(z-\bar{z}\right).$

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Lời giải chi tiết:

Giả sử z = a+bi, ta có:

$\alpha ={\left(a+bi\right)}^2+{\left(a-bi\right)}^2=2a^2-2b^2$

Vậy α ∈ R

$\beta =\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)+i\left(a+bi-a+bi\right)$

$=a^2+b^2-2b\in \mathbb{R}$

Vậy chọn A.

Câu 37

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức 

$\{\begin{array}{c}\alpha =\frac{i^{2005}-i}{\bar{z}-1}-z^2+(\bar{z}{)}^2\hfill \\ \beta =\frac{z^3-z}{z-1}+(\bar{z}{)}^2+\bar{z}\hfill \end{array}$

Khi đó:

(A) α là số thực, β là số thực

(B) α là số thực, β là số ảo

(C) α là số ảo, β là số thực

(D) α là số ảo, β là số ảo

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$i^{2005}=i$

$\Rightarrow \alpha =\frac{i^{2005}-i}{\bar{z}-1}-z^2+{\left(\bar{z}\right)}^2$

$=\frac{i-i}{z-1}-z^2+{\left(\bar{z}\right)}^2$

$=0-z^2+{\left(\bar{z}\right)}^2$

$=(\bar{z}{)}^2-z^2$ $=(\bar{z}-z)(\bar{z}+z)$

$=\left(a-bi-a-bi\right)\left(a-bi+a+bi\right)$ $=-2bi.2a=-4abi$

là số ảo.

$\begin{array}{l}\beta =\frac{z^3-z}{z-1}+{\left(\bar{z}\right)}^2+\bar{z}\\ =\frac{z\left(z^2-1\right)}{z-1}+{\left(\bar{z}\right)}^2+\bar{z}\\ =\frac{z\left(z-1\right)\left(z+1\right)}{z-1}+{\left(\bar{z}\right)}^2+\bar{z}\\ =z\left(z+1\right)+{\left(\bar{z}\right)}^2+\bar{z}\end{array}$

$=z^2+z+{\bar{z}}^2+\bar{z}$ $=(z+\bar{z}{)}^2-2z.\bar{z}+(z+\bar{z})$

$={\left(a+bi+a-bi\right)}^2$ $-2\left(a^2+b^2\right)$ $+\left(a+bi+a-bi\right)$ $=4a^2-2\left(a^2+b^2\right)+2a$ $=2a^2-2b^2+2a$

là số thực

Chọn (C)

Câu 38

Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdun của số phức (1 – i)²z bằng:

(A) 4r

(B) 2r

(C) $r\sqrt{2}$

(D) r

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{\left(1-i\right)}^2=1-2i+i^2=-2i\\ \Rightarrow \left|{\left(1-i\right)}^2\right|=\left|-2i\right|=2\\ \Rightarrow \left|{\left(1-i\right)}^{2}z\right|=\left|{\left(1-i\right)}^2\right|.\left|z\right|\\ =2r\end{array}$

Chọn (B)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]