Bài 25 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số $k$ biến tứ diện $ABCD$ thành tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$a thì $\frac{V_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}{V_{ABCD}}={\left|k\right|}^3$

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD).

Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’.

Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì:

A’H’ song song hoặc trùng với AH;

Và (B’C’D’) song song hoặc trùng với (BCD)

Mà AH ⊥ (BCD) nên A'H'⊥(B'C'D').

Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1)

Mặt khác, dễ thấy: $\widehat{CBD}=\widehat{C^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\phi$  (2)

Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có:

$\frac{A^{\prime }{H}^{\prime }}{AH}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{BD}=\left|k\right|$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

$\begin{array}{l}\frac{V_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}{S}_{B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}.A^{\prime }{H}^{\prime }}{\frac{1}{3}{S}_{BCD}.AH}\\ =\frac{S_{B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}.A^{\prime }{H}^{\prime }}{S_{BCD}.AH}\\ =\frac{\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }.B^{\prime }{D}^{\prime }\sin \phi }{\frac{1}{2}BC.BD\sin \phi }.\frac{A^{\prime }{H}^{\prime }}{AH}\\ =\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}.\frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{BD}.\frac{A^{\prime }{H}^{\prime }}{AH}\\ ={\left|k\right|}^3\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]