Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{BA}=\left(-6;1;-1\right);\overrightarrow{BC}=\left(2;3;1\right)$.

Vì $\frac{-6}{2}\ne \frac{1}{3}\ne \frac{-1}{1}$ nên $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử $D\left(x;y;z\right)$. Ta có: $\overrightarrow{AD}=\left(x+3;y+2;z\right),\overrightarrow{BC}=\left(2;3;1\right)$

ABCD là hình bình hành 

$\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ $\iff \{\begin{array}{l}x+3=2\\ y+2=3\\ z=1\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\\ z=1\end{array}$

Vậy $D\left(-1;1;1\right)$ .

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(8;2;2\right);$ $\overrightarrow{BD}=\left(-4;4;0\right)$

Do đó:

$\cos \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{AC.BD}$ $=\frac{-32+8}{\sqrt{72}.\sqrt{32}}=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)={120}^0$.

Chú ý:

Có thể tìm D theo cách khác như sau: 

Giả sử $D\left(x;y;z\right)$ thì $\overrightarrow{BD}=\left(x-3;y+3;z-1\right)$
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ $\iff \{\begin{array}{c}x-3=-6+2\hfill \\ y+3=1+3\hfill \\ z-1=-1+1\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x=-1\hfill \\ y=1\hfill \\ z=1\hfill \end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]