Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).

LG a

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho $M{A}^2-M{B}^2=2.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử M(x, y, z) ta có: $M{A}^2-M{B}^2=2.$

$\begin{array}{rl}& \iff {\left(1-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(2-z\right)}^2\\ & -{\left(2-x\right)}^2-y^2-{\left(1-z\right)}^2=2\\ & \iff 2x+2y-2z-1=0.\end{array}$

Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình $2x+2y-2z-1=0.$

LG b

Tìm quỹ tích các điểm N sao cho $N{A}^2+N{B}^2=3.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử N(x, y, z) ta có: $N{A}^2+N{B}^2=3.$

$\begin{array}{rl}& \iff {\left(1-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(2-z\right)}^2\\ & +{\left(2-x\right)}^2+y^2+{\left(1-z\right)}^2=3\\ & \iff x^2+y^2+z^2-3x+y-3z+4=0\\ & \iff {\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}.\end{array}$

Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm $I\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, bán kính $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

LG c

Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(-1;3;2\right)$ nên có phương trình: $-x+3y+2z=0.$
Mp(Oxy) có phương trình z = 0.
Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:

$\begin{array}{rl}& \frac{\left|-x+3y+2z\right|}{\sqrt{1+9+4}}=\left|z\right|\\ & \iff -x+3y+2z=\pm \sqrt{14}z\\ & \iff x-3y+\left(\pm \sqrt{14}-2\right)z=0.\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]