Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}.$

LG a

Viết phương trình hình chiếu của $\mathrm{\Delta }$ trên các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có phương trình tham số là:

$\{\begin{array}{c}x=1+2t\hfill \\ y=-1-t\hfill \\ z=3t\hfill \end{array}$

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu $d_1$ của $\mathrm{\Delta }$ trên (Oxy) có phương trình tham số là 

$\{\begin{array}{c}x=1+2t\hfill \\ y=-1+t\hfill \\ z=0\hfill \end{array}$

Hình chiếu $d_2$ của $\mathrm{\Delta }$ trên (Oyz) là

$\{\begin{array}{c}x=0\hfill \\ y=-1-t\hfill \\ z=3t\hfill \end{array}.$

Hình chiếu $d_3$ của $\mathrm{\Delta }$ trên (Oxz) là 

$\{\begin{array}{c}x=1+2t\hfill \\ y=0\hfill \\ z=3t\hfill \end{array}.$

LG b

Chứng minh rằng mặt phẳng $x+5y+z+4=0$ đi qua đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm $M\left(1+2t,-1-t,3t\right)\in \mathrm{\Delta },$ thay tọa độ của M vào phương trình $mp\left(\alpha \right)$ ta có:
$1+2t-5\left(1+t\right)+3t+4=0\Rightarrow M\in \left(\alpha \right).$
Vậy $\mathrm{\Delta }\subset \left(\alpha \right),$ tức $mp\left(\alpha \right)$ đi qua $\mathrm{\Delta }$.

LG c

Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và các trục tọa độ.

Lời giải chi tiết:

$\mathrm{\Delta }$ qua điểm $M\left(1;-1;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;3\right).$
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right)$.
Khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và trục Ox là:

$h_1=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}\right].\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}\right]\right|}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$

Khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và trục Oy là:

$h_2=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}\right].\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}\right]\right|}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}.$

Khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và trục Oz là:

$h_3=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{k}\right].\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{k}\right]\right|}=\frac{\left|1\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

LG d

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:x=y=z.$

Lời giải chi tiết:

Lấy $P\left(1+2t,-1-t,3t\right)\in \mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;3\right).$
$Q\left(t^{\prime },t^{\prime },t^{\prime }\right)\in {\mathrm{\Delta }}^{\prime },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}\left(1;1;1\right).$
Ta có $\overrightarrow{QP}=\left(1+2t-t^{\prime },-1-t-t^{\prime },3t-t^{\prime }\right).$

PQ là đường vuông góc chung của $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{PQ}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{PQ}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u^{\prime }},$ tức là:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{QP}.\overrightarrow{u^{\prime }}=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}2\left(1+2t-t^{\prime }\right)-\left(-1-t-t^{\prime }\right)+3\left(3t-t^{\prime }\right)=0\\ 1+2t-t^{\prime }-1-t-t^{\prime }+3t-t^{\prime }=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}14t-4t^{\prime }=-3\\ 4t-3t^{\prime }=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=-\frac{9}{26}\\ t^{\prime }=-\frac{6}{13}\end{array}.\end{array}$

Do đó $Q\left(-\frac{6}{13};-\frac{6}{13};-\frac{6}{13}\right)$ và $\overrightarrow{QP}=\left(\frac{20}{16},\frac{-5}{16},\frac{-15}{16}\right)=\frac{5}{16}\left(4;-1;-3\right).$

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left(4;-1;-3\right).$ 

Do đó PQ có phương trình tham số là: 

$\{\begin{array}{c}x=-\frac{6}{13}+4t\hfill \\ y=-\frac{6}{13}-t\hfill \\ z=-\frac{6}{13}-3t\hfill \end{array}.$

LG e

Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả $\mathrm{\Delta }$ và ’${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm $P\left(1+2t,-1-t,3t\right)\in \mathrm{\Delta }.$

$Q\left(t^{\prime },t^{\prime },t^{\prime }\right)\in {\mathrm{\Delta }}^{\prime }.$

PQ // Oz $\iff \overrightarrow{QP}$ cùng phương với 

$\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\iff \{\begin{array}{c}1+2t-t^{\prime }=0\hfill \\ -1-t-t^{\prime }=0\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}t=-\frac{2}{3}\hfill \\ t^{\prime }=-\frac{1}{3}.\hfill \end{array}$

Vậy PQ đi qua $Q\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ nên PQ có phương trình tham số là: 

$\{\begin{array}{c}x=-\frac{1}{3}\hfill \\ y=-\frac{1}{3}\hfill \\ z=-\frac{1}{3}+t\hfill \end{array}.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]