Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’.

LG a

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì?

Lời giải chi tiết:

Giả sử $\left(\alpha \right)\cap C^{\prime }{D}^{\prime }=E$ thì thiết diện của hình hộp khi cắt bởi $mp\left(\alpha \right)$ là tứ giác DNB’E.
Ta có: 

$\{\begin{array}{c}\left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)=DN\hfill \\ \left(\alpha \right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)=B^{\prime }E\hfill \\ \left(ABCD\right)\parallel \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)\hfill \end{array}\Rightarrow DN\parallel B^{\prime }E.$

Tương tự ta có: 

$\{\begin{array}{c}\left(\alpha \right)\cap \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)=N{B}^{\prime }\hfill \\ \left(\alpha \right)\cap \left(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D\right)=DE\hfill \\ \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)\parallel \left(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D\right)\hfill \end{array}\Rightarrow N{B}^{\prime }\parallel DE.$

Xét tứ giác DNB’E có: DN // B’E, NB’ // DE.
Vậy DNB’E là hình bình hành.

LG b

Chứng minh rằng mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện $H_1$ và $H_2$ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

$mp\left(\alpha \right)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện $H_1:ADN{A}^{\prime }{B}^{\prime }E{D}^{\prime }$ và $H_2:C^{\prime }{B}^{\prime }ECDNB.$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo B’D và NE của hình bình hành DNB’E suy ra O là trung điểm của B’D. Do đó O là tâm hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Gọi $D_{(O)}$ là phép đối xứng qua tâm O ta có:

$D_{(O)}$: $A\to C^{\prime }$              

       $\begin{array}{rl}& N\to E\\ & B^{\prime }\to D\\ & E\to N\\ & D^{\prime }\to B\\ & A^{\prime }\to C\\ & D\to B^{\prime }\end{array}$

$\Rightarrow$$D_{(O)}$: $ADN{A}^{\prime }{B}^{\prime }E{D}^{\prime }\to C^{\prime }{B}^{\prime }ECDNB$ hay $D_{(O)}$: $H_1\to H_2.$

Mà phép đối xứng tâm O là phép dời hình nên $V_{H_1}=V_{H_2}.$

LG c

Tính tỉ số thể tích của khối đa diện $H_1$ và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

Lời giải chi tiết:

Gọi $V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=V.$
Ta có: $V_{A{A}^{\prime }BD}=V_{A^{\prime }.ABD}.$

$S_{\mathrm{\Delta }ABD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$

$\Rightarrow V_{A^{\prime }.ABD}=\frac{1}{3}A{A}^{\prime }.S_{\mathrm{\Delta }ABD}$$=\frac{1}{3}.A{A}^{\prime }.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{V}{6}.$

Mà $V_{H_1}=V_{H_2}=\frac{V}{2}.$

Suy ra $\frac{V_{H_1}}{V_{A{A}^{\prime }BD}}=\frac{\frac{V}{2}}{\frac{V}{6}}=3.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]