Đề số 2 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 12

2024-09-14 19:44:07

Đề bài

Câu 1. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây:

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ . B. $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ . C. $y = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ . D. $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Câu 2. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng.

A. $9$ . B. Vô số. C. $6$ . D. $3$

Câu 3. Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $[- 1; \frac{5}{2}]$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ .

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $f (x)$ trên $[- 1; \frac{5}{2}]$ là.

A. $M = \frac{5}{2}; m = - 1$ B. $M = \frac{5}{2}; m = 1$ . C. $M = 4; m = 1.$ D. $M = 4; m = \frac{- 3}{2}$

Câu 4. Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ là:

A. $1$ B. $4$ C. $2$ D. $3$

Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d : y = x + m$ . Tìm $m$ để $d$ luôn cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt

A. $m = 5$ B. $m \in R$ C. $m < 0$ D. $m > 1$

Câu 6. Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có bốn cực trị B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

C. Hàm số không có cực đại. D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 5$ .

Câu 7. Tìm tập nghiệm S của phương trình $\log_{3} (2 x + 1) - \log_{3} (x - 1) = 1$

A. $S = {4}$ B. $S = {3}$ C. $S = {- 2}$ D. $S = {1}$

Câu 8. Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây:

A. $(- \infty; - 1)$ B. $(- 1; 1)$ C. $(- 1; 0)$ D. $(0; 1)$ .

Câu 9. Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 2}$ có đường tiệm cận ngang là:

A. $y = 2$ B. $y = - 2$ C. $x = 2$ D. $x = - 2$ .

Câu 10. Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = x . (x + 2021) . (x^{2} - 4 x + 4)$ . Hàm số $f (x)$ có mấy điểm cực trị

A. $3$ B. $1$ C. $2$ D. $4$

Câu 11. Cho một hình đa diện. mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất $3$ mặt.

B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất $3$ cạnh.

C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất $3$ cạnh.

D. Mỗi mặt có ít nhất $3$ cạnh.

Câu 12. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 4$

A. $y_{C T} = 1$ B. $y_{C T} = 6$ C. $y_{C T} = 2$ . D. $y_{C T} = - 1$ .

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m^{2} - 6}{x - m}$ đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ ?

A. $5$ . B. $3$ C. $4$ . D. $6.$

Câu 14. Cho hàm số $f (x) = \log_{2021} x$ . Tính $f^{'} (1)$ ?

A. $f^{'} (1) = \frac{1}{2021}$ . B. $f^{'} (1) = \frac{1}{2021. \ln 2}$ . C. $f^{'} (1) = \frac{1}{\ln 2021}$ D. $f^{'} (1) = 1$ .

Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $3^{x - 2} = \frac{1}{9}$

A. $x = \frac{9}{19}$ B. $x = 2.$ C. Vô nghiệm. D. $x = 0.$

Câu 16. Hàm số $y = (9 x^{2} - 1)^{- 4}$ có tập xác định là:

A. $(\frac{- 1}{3}; \frac{1}{3})$ . B. $x > \frac{1}{3}$ . C. $(- \infty; \frac{- 1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$ D. $R ∖ {\frac{- 1}{3}; \frac{1}{3}}$

Câu 17. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ là:

A. $0.$ B. $3$ C. $1$ D. $2.$

Câu 18. Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng:

A. $y = - 2.$ B. $x = 1$ . C. $y = 1.$ D. $x = - 2.$

Câu 19. Nghiệm của phương trình $\log_{3} (x - 2) = 2$ là

A. $x = 8.$ B. $x = 10.$ C. $x = 7$ . D. $x = 11.$

Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ là:

A. $15.$ B. $11.$ C. $10.$ D. $6.$

Câu 21. Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. $(2^{x})^{y} = 2^{x} . 2^{y}; \forall x; y \in R$ B. ${2^{x}}^{+ y} = 2^{x} + 2^{y}; \forall x; y \in R$

C. ${(2^{x})}^{y} = 2^{x y}; \forall x; y \in R$ D. ${2^{x}}^{- y} = 2^{x} - 2^{y}; \forall x; y \in R$

Câu 22. Cho hàm số $y = \frac{5 x + 9}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ B. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên $R ∖ {1}$ D. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} + 2 x^{2} - (m - 1) x + 2$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

A. $m > \frac{7}{3}$ B. $m \leq \frac{7}{3}$ . C. $m \geq \frac{7}{3}$ D. $m \geq \frac{1}{3}$ .

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 4}$ có ba đường tiệm cận:

A. ${\begin{matrix} m < - 2 \\ m \neq \frac{- 5}{2} \end{matrix}$ . B. ${\begin{matrix} [\begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \\ m \neq \frac{- 5}{2} \end{matrix}$ C. $[\begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix}$ D. $m > 2$ .

Câu 25. Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt?

A. $7$ mặt. B. $9$ mặt. C. $6$ mặt. D. $5$ mặt.

Câu 26. Cho phương trình $2 (\log_{3} x)^{2} - 5 \log_{3} (9 x) + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ . Giá trị của biểu thức $P = x_{1} . x_{2}$

A. $27 \sqrt{3}$ B. $\frac{27}{\sqrt{5}}$ C. $27 \sqrt{5}$ D. $9 \sqrt{3}$ .

Câu 27. Với $a$ là số thực dương tùy ý; $\ln (5 a) - \ln (3 a) = ?$

A. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$ . B. $\frac{\ln 5 a}{\ln 3 a}$ C. $\ln 2 a$ D. $\ln \frac{5}{3}$ .

Câu 28. Đường cong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 3 x^{2} - 1$ B. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ D. $y = x^{4} - 3 x^{2} - 1$ .

Câu 29. Giá trị của biểu thức $P = {(e^{3})}^{\log_{e} 5}$ bằng:

A. $16$ B. $125$ C. $32$ . D. $5$ .

Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x}{x + 1}$ trên đoạn $[- 4; - 2]$ bằng

A. $- 1$ B. $- \frac{28}{3}$ C. $- 9$ . D. $- 10$ .

Câu 31. Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thj như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a > 0; b < 0; c > 0; d < 0$ B. $a < 0; b < 0; c > 0; d < 0$

C. $a > 0; b < 0; c < 0; d < 0$ D. $a > 0; b > 0; c < 0; d < 0$ .

Câu 32. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{x^{5} . \sqrt[4]{x}}; x > 0$

A. $P = x^{\frac{20}{7}}$ B. $P = x^{\frac{12}{5}}$ C. $P = x^{\frac{20}{21}}$ D. $P = x^{\frac{7}{4}}$

Câu 33. Tính thể tích của khối lập phương biết rằng khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có thể tích là $\frac{32 π}{3}$

A. $V = \frac{8 \sqrt{3}}{2}$ . B. $V = \frac{64 \sqrt{3}}{9}$ C. $V = 8$ . D. $V = \frac{8 \sqrt{3}}{9}$ .

Câu 34. Khối đa diện nào sau đây có đúng 6 mặt phẳng đối xứng

A. Khối lăng trụ lục giác đều. B. Khối bát diện đều

C. Khối tứ diện đều D. Khối lập phương .

Câu 35. Cho hình chóp $S . A B C$ có $A^{'}; B^{'}; C^{'}$ lần lượt là trung điểm của $S A; S B; S C$ . Tỉ số thể tích $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}}$ là

A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{8}$ C. $8$ D. $\frac{1}{4}$

Câu 36. Cho hình trụ $(S)$ có bán kính đáy là $a$ . Biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có chu vi bằng $8$ . Thể tích của khối trụ đó bằng:

A. $8 π$ B. $4 π$ C. $2 π$ D. $16 π$ .

Câu 37. Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $2 a$ . Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy, thể tích của khối chóp là $\frac{a^{3}}{4}$ . Tính độ dài đoạn $S A$

A. $\frac{4 a}{\sqrt{3}}$ . B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ C. $\frac{a}{\sqrt{3}}$ D. $\frac{a}{4}$

Câu 38. Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng $l$ và bán kính đáy bằng $r$ có diện tích xung quanh là

A. $2 π r l$ B. $π r l$ C. $2 π r^{2}$ D. $4 π r^{2}$

Câu 39. Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối nón đó bằng:

A. $\frac{3 π \sqrt{3}}{8} a^{3}$ B. $\frac{π \sqrt{3}}{8} a^{3}$ C. $\frac{π \sqrt{3}}{4} a^{3}$ D. $\frac{π \sqrt{3}}{8} a^{2}$ .

Câu 40. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ và cạnh đáy bằng $a \sqrt{3}$ là

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$ B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2}$ D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Câu 41. Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$ , bán kính $R; S O = h$ . Độ dài đường sinh hình nón đó bằng

A. $\sqrt{h^{2} - R^{2}}$ B. $\sqrt{h^{2} + R^{2}}$ . C. $2 \sqrt{h^{2} - R^{2}}$ . D. $2 \sqrt{h^{2} + R^{2}}$ .

Câu 42. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Hai mặt phẳng $(S A B); (S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp biết $S C = a \sqrt{3}$

A. $\frac{a^{3}}{3}$ B. $a^{3}$ C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$ . D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 43. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 và góc ở đỉnh bằng $60^{0}$ . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

A. $\frac{100 \sqrt{3} π}{3}$ B. $50 π$ C. $100 π$ D. $\frac{50 \sqrt{3} π}{3}$ .

Câu 44. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $2 a$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với trục và cách trục một khoảng $\frac{a}{2}$ . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(P)$

A. $2 \sqrt{3} a^{2}$ B. $a^{2}$ C. $4 a^{2}$ D. $π . a^{2}$ .

Câu 45. Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ , hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là trung điểm $M$ của $B^{'} C^{'}; A^{'} M = a \sqrt{3}$ , hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là $H$ sao cho $M H / / B B^{'}; A H = a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $B B^{'}; C C^{'}$ bằng $2 a$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}$ B. $a^{3} \sqrt{2}$ C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$ . D. $3 a^{3} \sqrt{2}$ .

Câu 46. Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng a và $A B^{'} ⊥ B C^{'}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

A. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{8}$ B. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$ . C. $V = \sqrt{6} a^{3}$ D. $V = \frac{7 a^{3}}{8}$

Câu 47. Cho số thực $m = \log_{a} \sqrt{a b}; a, b > 1; P = (\log_{a} b)^{2} + 54 \log_{b} a$ . Tìm giá trị $m$ để biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. $m = 4.$ B. $m = 5.$ C. $m = 2.$ D. $m = 3.$

Câu 48. Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $y = | f (x) |$ là:

A. $7$ B. $8$ C. $3$ D. $5$

Câu 49. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất $7, 5 % /$ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền người đó thu được ( cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu, giả định trong thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

A. $9$ năm. B. $10$ năm. C. $12$ năm. D. $11$ năm.

Câu 50. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = (2 m - 1) x + m + 3$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

A. $m = \frac{1}{2}$ B. $m = \frac{- 3}{4}$ C. $m = \frac{3}{4}$ D. $m = \frac{- 1}{2}$

Lời giải chi tiết

1. C	2. D	3. D	4. D	5. B	6. B	7. A	8. C	9. A	10. A
11. A	12. C	13. C	14. C	15. D	16. D	17. D	18. D	19. D	20. A
21. C	22. B	23. C	24. B	25. A	26. D	27. D	28. A	29. B	30. C
31. A	32. D	33. B	34. C	35. B	36. C	37. B	38. A	39. B	40. B
41. B	42. A	43. B	44. A	45. A	46. A	47. C	48. A	49. B	50. D

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

- Chỉ ra tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị.

- Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

- Kiến thức sử dụng: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$

Cách giải:

- Hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 1; tiệm cận ngang là y = 2.

- Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.

- Trong các phương án đã cho chỉ có phương án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào tính chất đối xứng của hình hộp chữ nhật.

Cách giải:

Hình hộp chữ nhật có ba mặt phẳng đối xứng.

Chọn D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

- Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn đang xét, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Cách giải:

- Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $f (x)$ trên $[- 1; \frac{5}{2}]$ là.

$M = 4; m = \frac{- 3}{2}$ ,

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp :

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ chính là số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 1$ .

Cách giải:

Vẽ thêm đường thẳng $y = 1$ .

Ta thấy, số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 1$ là 3 điểm.

Suy ra, số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ là $3$ .

Chọn D.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Để $d$ luôn cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm trên phải có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$\begin{array}{l} \frac{- x + 1}{2 x - 1} = x - m \Rightarrow - x + 1 = (x - m) . (2 x - 1) \\ \Leftrightarrow - x + 1 = 2 x^{2} - x - 2 m x + m \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 m x + m - 1 = 0 (*) \end{array}$

Để $d$ luôn cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} Δ^{'} = m^{2} - 2 (m - 1) > 0 \\ 2. {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 m . \frac{1}{2} + m - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m^{2} - 2 m + 2 > 0 (l d) \\ \frac{- 1}{2} \neq 0 (l d) \end{matrix}$

Vậy với mọi $m$ , $d$ luôn cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt.

Chọn B.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ và qua điểm $x = x_{0}$ , đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm thì $x_{0}$ là một điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

Chọn B.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

+ Đặt điều kiện xác định cho phương trình.

+ $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Rightarrow f (x) = g (x)$

Giải phương trình trên, chú ý điều kiện của $x$ .

Cách giải:

Điều kiện: ${\begin{matrix} 2 x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x > \frac{- 1}{2} \\ x > 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1$

Ta có: $\log_{3} (2 x + 1) - \log_{3} (x - 1) = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{3} \frac{2 x + 1}{x - 1} = 1 \\ \Rightarrow \frac{2 x + 1}{x - 1} = 3 \\ \Rightarrow 2 x + 1 = 3 (x - 1) \\ \Leftrightarrow 2 x + 1 = 3 x - 3 \\ \Leftrightarrow - x = - 4 \Leftrightarrow x = 4 \end{array}$

Kết hợp điều kiện thấy thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Tính từ trái sang phải:

+ Đồ thị hàm số đi lên thì hàm số đồng biến.

+ Đồ thị hàm số đi xuống thì hàm số nghịch biến.

Cách giải:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

Chọn C.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Nếu $lim_{x \to + \infty} y = y_{0}^{}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} y = y_{0}^{}$ thì đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang.

Cách giải:

Ta có: $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 4}{x + 2} = 2; lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 4}{x + 2} = 2$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Chọn A.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ , ứng với mỗi nghiệm đơn hoặc một nghiệm bội lẻ cho ta một điểm cực trị của hàm số ( chú ý là không tính nghiệm bội chẵn).

Cách giải:

Ta có: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2021 \\ x = 2 (b o i c h a n) \end{matrix}$

Ta có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội chẵn nên hàm số $f (x)$ có 2 điểm cực trị

Chọn C.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa của hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:

- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chí có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Cách giải:

Theo định nghĩa hình đa diện thì mệnh đề A là sai.

Chọn A.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

+ Tính $y^{'}$ ;

+ Giải phương trình $y^{'} = 0$ ;

+ Lập bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 3; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$y^{″} = - 6 x$

$\begin{array}{l} y^{″} (1) = - 6.1 = - 6 < 0 \\ y^{″} (- 1) = (- 6) . (- 1) = 6 > 0 \end{array}$

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1; y_{C T} = y (- 1) = 2$

Chọn C.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

+ Tính đạo hàm $y^{'}$

+ Để hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ thì : ${\begin{matrix} y^{'} > 0 \forall x \in (- \infty; - 2) \\ x \neq m \forall x \in (- \infty; - 2) \end{matrix}$

Cách giải:

Ta có: $y^{'} = \frac{- m - m^{2} + 6}{{(x - m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ thì : ${\begin{matrix} y^{'} > 0 \forall x \in (- \infty; - 2) \\ x \neq m \forall x \in (- \infty; - 2) \end{matrix}$

${\begin{matrix} \frac{- m - m^{2} + 6}{{(x - m)}^{2}} > 0 \\ m \geq - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} - m - m^{2} + 6 > 0 \\ m \geq - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 3 < m < 2 \\ m \geq - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 \leq m < 2$

Mà $m \in Z \Rightarrow m \in {- 2; - 1; 0; 1}$ .

Chọn C.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

Dùng công thức tính đạo hàm: $(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

Cách giải:

Ta có: $(\log_{2021} x)^{'} = \frac{1}{x \ln 2021} \Rightarrow f^{'} (1) = \frac{1}{\ln 2021}$

Chọn C.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng: $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Rightarrow f (x) = g (x)$

Và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Cách giải:

Ta có: $3^{x - 2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^{x - 2} = 3^{- 2} \Leftrightarrow x - 2 = - 2 \Leftrightarrow x = 0$

Chọn D.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Hàm số $y = a^{n}; n \in Z^{-}$ có điều kiện là $a \neq 0$ .

Cách giải:

Điều kiện: $9 x^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm \frac{1}{3}$

Chọn D.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

+ Để tìm tiệm cận ngang của hàm số ta đi tính $lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

+ Để tìm tiệm cận đứng ta đi tính $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ trong đó $x_{0}$ là nghiệm của phương trình mẫu = 0.

Cách giải:

Ta có: $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 1$ nên hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) . (x + 1)}{(x - 1) . (x - 2)} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x - 2} = - 2$

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 1) . (x + 1)}{(x - 1) . (x - 2)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{x - 2} = + \infty$ nên hàm số có một tiệm cận đứng là $x = 2$ .

Vậy hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.

Chọn D.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị ta tính $lim_{x \to {x_{0}}^{\pm}} f (x)$ trong đó $x_{0}$ là nghiệm của phương trình mẫu = 0.

Cách giải:

$lim_{x \to - 2^{+}} \frac{x - 1}{x + 2} = - \infty$ nên hàm số có một tiệm cận đứng là $x = - 2$ .

Chọn D.

Câu 19 (NB)

Phương pháp:

$\log_{a} f (x) = b \Rightarrow f (x) = a^{b}$

Cách giải:

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Ta có: $\log_{3} (x - 2) = 2$ $\Rightarrow x - 2 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 11$ ( thỏa mãn điều kiện).

Chọn D.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số

Giải phương trình $y^{'} = 0$ (chỉ lấy các nghiệm trên đoạn đang xét)

Tính $f (- 1); f (2); f (x_{0})$ và so sánh để tìm giá trị lớn nhất.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{c} x = 1 \\ x = - 2 (l) \end{array} \\ f (- 1) = 15; f (1) = - 5; f (2) = 6 \\ \Rightarrow M = f (- 1) = 15 \end{array}$

Chọn A.

Câu 21 (NB)

Phương pháp:

Theo tính chất của lũy thừa ta có: $(a^{m})^{n} = a^{m . n}; a^{m + n} = a^{m} . a^{n}$

Cách giải:

Ta có: ${(2^{x})}^{y} = 2^{x y}, \forall x, y \in R$

Chọn C.

Câu 22 (NB)

Phương pháp:

Tính đạo hàm $y^{'}$

Xét dấu đạo hàm xem $y^{'} < 0$ hay $y^{'} > 0$ trên khoảng xác định.

Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $y^{'} = \frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} < 0 \forall x \in D$

Do đó, hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$

Chọn B.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

Tính đạo hàm $y^{'}$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ thì $y^{'} \leq 0 \forall x$

Chú ý: $a x^{2} + b x + c \leq 0 \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{matrix} a < 0 \\ Δ \leq 0 \end{matrix}$

Cách giải:

Ta có; $y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - (m - 1)$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ thì $y^{'} \leq 0 \forall x$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ Δ^{'} = 2^{2} - (- 3) . (- m + 1) \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow 4 - 3 m + 3 \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{3}$

Chọn C.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

+ Tìm tiệm cận ngang : $lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

+ Tìm tiệm cận đứng: $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ .

Để hàm số có ba đường tiệm cận thì hàm số có 2 tiệm cận đứng. Suy ra phương trình $x^{2} - 2 m x + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác – 1.

Cách giải:

+ Ta có: $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ nên hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = 0.$

+ Để hàm số có ba đường tiệm cận thì hàm số có 2 tiệm cận đứng. Suy ra phương trình $x^{2} - 2 m x + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác – 1.

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} Δ^{'} = m^{2} - 4 > 0 \\ 1 - 2 m . (- 1) + 4 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} [\begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix} \\ m \neq \frac{- 5}{2} \end{matrix}$

Chọn B.

Câu 25 (NB)

Phương pháp :

Dựa vào định nghĩa khối lăng trụ.

Cách giải:

Khối lăng trụ ngũ giác có 2 mặt đáy và năm mặt bên nên có tất cả $5 + 2 = 7$ mặt.

Chọn A.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

Đặt điều kiện cho ẩn.

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai.

Cách giải:

Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $2 (\log_{3} x)^{2} - 5 \log_{3} (9 x) + 3 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 (\log_{3} x)^{2} - 5 (2 + \log_{3} x) + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (\log_{3} x)^{2} - 5 \log_{3} x - 7 = 0 (*) \end{array}$

Đặt $t = \log_{3} x$ , (*) trở thành: $2 t^{2} - 5 t - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 1 \\ t = \frac{7}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t_{1} + t_{2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \log_{3} x_{1} + \log_{3} x_{2} = \frac{5}{2} \\ \Leftrightarrow \log_{3} x_{1} x_{2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x_{1} x_{2} = 3^{\frac{5}{2}} = 9 \sqrt{3} \end{array}$

Chọn D.

Câu 27 (NB)

Phương pháp :

Sử dụng công thức: $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}; a > 0; b > 0$

Cách giải:

$\ln (5 a) - \ln (3 a) = \ln \frac{5 a}{3 a} = \ln \frac{5}{3}$ .

Chọn D.

Câu 28 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng cách nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương và hàm số bậc ba.

Cách giải:

Đường cong hình vẽ là đồ thị của hàm trùng phương với hệ số $a < 0$ .

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} a^{\log_{a} b} = b; a > 0; b > 0 \\ n \log_{a} b = \log_{a} b^{n}; \\ (a^{m})^{n} = a^{m . n} \end{array}$

Cách giải:

$P = (e^{3})^{\log_{e} 5} = {e^{3.}}^{\log_{e} 5} = {e^{}}^{\log_{e} 5^{3}} = 5^{3} = 125$

Chọn B.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

- Tính đạo hàm $y^{'}$ .

- Giải phương trình $y^{'} = 0$ (chỉ lấy các nghiệm thuộc đoạn $[- 4; - 2]$ )

- Tính $y (- 4); y (- 2); y (x_{0})$ .
Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{(2 x - 3) . (x + 1) - 1. (x^{2} - 3 x)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 - x^{2} + 3 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}} \\ y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{c} x = 1 (l) \\ x = - 3 \end{array} \end{array}$

Ta có: $y (- 4) = \frac{- 28}{3}; y (- 2) = - 10; y (- 3) = - 9 \Rightarrow M = - 9$

Chọn C.

Câu 31 (TH)
Phương pháp:

Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba, suy ra dấu của hệ số $a$ .

Tính đạo hàm $y^{'}$

Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ . Suy ra dấu của b và c.

Đồ thị cắt trục tung tại một điểm, từ đó suy ra dấu của $d$ .

Cách giải:

Đồ thị đã cho là của hàm bậc ba có hệ số $a > 0.$

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $A (0; d)$ . Dựa vào đồ thị suy ra $d < 0$ .

Ta có: $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt (dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2).

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{3 a} > 0 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 \end{matrix} \Rightarrow b < 0; c > 0$ (vì $a > 0$ )

Chọn A.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: $Misplaced &$

Cách giải:

$P = \sqrt[3]{x^{5} . \sqrt[4]{x}} = \sqrt[3]{x^{5} . x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{4}}} = {(x^{\frac{21}{4}})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{21}{4} . \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{4}}$

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Độ dài cạnh của hình lập phương là $a$ thì độ dài đường chéo là $a \sqrt{3}$ .

Bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối lập phương cạnh $a : V = a^{3}$

Thể tích của khối cầu có bán kính $R : V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Cách giải:

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $a$ thì độ dài đường chéo là $a \sqrt{3}$ .

Bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là: $V = \frac{4}{3} π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

Theo giả thiết: $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2} = \frac{32 π}{3} \Rightarrow a^{3} = \frac{64}{3 \sqrt{3}}$

Thể tích khối lập phương cạnh $a : V = a^{3}$ $= \frac{64}{3 \sqrt{3}}$

Chọn B.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

Dựa vào tính chất đối xứng của mỗi khối đa diện.

Cách giải:

Khối tứ diện đều có đúng 6 mặt phẳng đối xứng.

Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng. Mỗi mặt đều chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện (hình vẽ).

Chọn C.

Câu 35 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích.

Cách giải:

Tỉ số thể tích $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .

Chọn B.

Câu 36 (TH)

Phương pháp:

Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có độ dài cạnh là $a$ thì bán kính đường tròn đáy là $\frac{a}{2}$ và đường cao của hình trụ là $h = l = a$ .

Thể tích của khối trụ là $V = π R^{2} h$

Cách giải:

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có chu vi bằng $8$ nên độ dài cạnh hình vuông là $8 : 4 = 2$

Do đó, bán kính đường tròn đáy là $\frac{2}{2} = 1$ và đường cao của hình trụ là $h = l = 2$ .

Thể tích của khối trụ là $V = π R^{2} h = π {.1}^{2} .2 = 2 π$

Chọn C.

Câu 37 (TH)

Phương pháp:

Diện tích tam giác đều cạnh $a : S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{d a y} . h$ .

Cách giải:

Diện tích tam giác đều $A B C$ cạnh $2 a : S = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} a^{2}$

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{d a y} . h = \frac{1}{3} . \sqrt{3} a^{2} . S A$ .

Theo giả thiết ta có: $\frac{1}{3} . \sqrt{3} a^{2} . S A$ $= \frac{a^{3}}{4} \Rightarrow S A = \frac{12 a}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Chọn B.

Câu 38 (NB)

Phương pháp:

Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng $l$ và bán kính đáy bằng $r$ có diện tích xung quanh là $2 π r l$ .

Cách giải:

Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng $l$ và bán kính đáy bằng $r$ có diện tích xung quanh là $2 π r l$

Chọn A.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

Từ giả thiết, tính độ dài đường sinh của hình nón.

Tính bán kính đường tròn đáy, chiều cao $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$ .

Thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Cách giải:

Bán kính đường tròn đáy là $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì tam giác $S A B$ vuông cân nên:

$\begin{array}{l} S A^{2} + S B^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow 2 S B^{2} = 3 a^{2} (S A = S B) \\ \Rightarrow S B = \sqrt{\frac{3}{2}} a \end{array}$

Chiều cao $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{\frac{3}{2} a^{2} - \frac{3}{4} a^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = π \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Chọn B.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

Khối chóp tứ giác đều là khối chóp có đáy là hình vuông, chiều cao là $S I$ , trong đó $I$ là tâm của đáy.

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{d a y} . h$

Cách giải:

Diện tích đáy là $S_{d a y} = (a \sqrt{3})^{2} = 3 a^{2}$

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{d a y} . h = \frac{1}{3} .3 a^{2} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Chọn B.

Câu 41 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $S O A$ trong đó: $S O = h; S A = l; O A = R$

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $S O A$ ta được: $S A^{2} = S O^{2} + O A^{2} = h^{2} + R^{2} \Rightarrow S A = \sqrt{h^{2} + R^{2}}$

Chọn B.

Câu 42 (TH)

Phương pháp :

Vì hai mặt phẳng $(S A B); (S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.

Tính $A C; S A$ .

Thể tích của hình chóp $V = \frac{1}{3} S_{d a y} . h$

Cách giải:

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A B); (S A D)$ là $S A$ .

Lại có , hai mặt phẳng $(S A B); (S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $S A ⊥ (A B C D)$ .

Diện tích đáy là $S = a^{2}$

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$

Áp dụng định lí pytago vào tam giác $S A C$ ta có:

$\begin{array}{l} S A^{2} = S C^{2} - A C^{2} = 3 a^{2} - 2 a^{2} = a^{2} \\ \Rightarrow S A = a \\ \Rightarrow V = \frac{1}{3} . a^{2} . a = \frac{1}{3} a^{3} \end{array}$

Chọn A.

Câu 43.(TH)

Phương pháp:

Hình nón có độ dài đường sinh $l$ , bán kính đường tròn đáy là $r$ thì có diện tích xung quanh là:

$S_{x q} = π r l$

Cách giải:

Vì góc ở đỉnh bằng $60^{0}$ nên $\hat{C B A} = \frac{1}{2} \hat{C B B^{'}} = 30^{0}$

Ta có: $\sin 30^{0} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow B C = \frac{A C}{\sin 30^{0}} = \frac{5}{\sin 30^{0}} = 10$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{x q} = π r l = π .5 .10 = 50 π$

Chọn B.

Câu 44. (VD)

Phương pháp:

Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $2 a$ thì độ dài đường cao là $2 a$ , bán kính đường tròn đáy là $a$

Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ - song song với trục là hình chữ nhật- trong đó có một cạnh là chiều cao của hình trụ.

Cách giải:

Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $2 a$ thì độ dài đường cao là $2 a$ , bán kính đường tròn đáy là $a$

Gọi thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là hình chữ nhật $A B C D$ .

Kẻ $O H ⊥ A B$ .

Vì mặt phẳng $(P)$ song song với trục và cách trục một khoảng $\frac{a}{2} \Rightarrow O H = \frac{a}{2}$

Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông $O H B$ có:

$\begin{array}{l} H B^{2} = O B^{2} - O H^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} \\ \Rightarrow H B = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow A B = 2 H B = a \sqrt{3}$

Diện tích thiết diện $A B C D : S = A B . B C = a \sqrt{3} .2 a = 2 \sqrt{3} a^{2}$

Chọn A.

Câu 45. (VD)

Phương pháp:

Vì hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là trung điểm $M$ của $B^{'} C^{'} \Rightarrow h = A M$

Thể tích của khối lăng trụ là $V = S_{d a y} . h$

Cách giải:

Kéo dài $M H$ cắt $B C$ tại $M^{'}$ .

Ta có: $\begin{array}{l} {\begin{array}{c} B C ⊥ A M \\ B C ⊥ A H \end{array} \Rightarrow B C ⊥ (A A^{'} M M^{'}) \\ \Rightarrow B C ⊥ A^{'} M; B C ⊥ M M^{'} \end{array}$

Lại có: $A M ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'}) \Rightarrow A M ⊥ (A B C) \Rightarrow A M ⊥ A M^{'}$

Suy ra: vuông tại $A$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A M^{' 2}} \Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} - \frac{1}{A M^{' 2}} \\ = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{2}{3 a^{2}} \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{array}$

Do ${\begin{matrix} B B^{'} / / M M^{'} \\ M M^{'} ⊥ B C \end{matrix} \Rightarrow B B^{'} ⊥ B C$ nên tứ giác $B B^{'} C^{'} C$ là hình chữ nhật.

Do đó; $d (B B^{'}; C C^{'}) = B^{'} C^{'} = 2 a$

Vậy $V = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} . A M = \frac{1}{2} .2 a . a \sqrt{3} . \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}$

Chọn A.

Câu 46.(VD)

Phương pháp:

Diện tích tam giác đều cạnh $a : S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}; h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối lăng trụ là $V = S_{d} . h$ .

Cách giải:

Dựng hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Khi đó; $A B^{'} / / D C^{'}$ và đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh a .

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow B O ⊥ A C$

Ta có: $B O = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ( vì tam giác $A B C$ đều)

Suy ra: $B D = 2 B O = a \sqrt{3}$

Ta có: $A B^{'} / / D C^{'}$ và $A B^{'} ⊥ B C^{'}$ nên $B C^{'} ⊥ D C^{'}$ .

Suy ra tam giác $B C^{'} D$ vuông cân tại $C^{'}$ .

(vì $B C^{'} = C^{'} D = \sqrt{h^{2} - a^{2}}$ - trong đó h là đường cao của hình lăng trụ).

Do đó; $B C^{'} = \frac{B D}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Rightarrow h = \sqrt{B C^{' 2} - a^{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

$V = S_{A B C} . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

Chọn A.

Câu 47.(VD)

Phương pháp:

+ Khai thác từ giả thiết, biểu diễn $m$ theo $\log_{a} b$ .

Biến đổi biểu thức $P$ theo m.

Khảo sát hàm số $P (m)$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} m = \log_{a} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} \log_{a} (a b) = \frac{1}{2} (1 + \log_{a} b) \\ \Rightarrow \log_{a} b = 2 m - 1 \end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l} P = (\log_{a} b)^{2} + 54 \log_{b} a = (\log_{a} b)^{2} + \frac{54}{\log_{a} b} \\ = (2 m - 1)^{2} + \frac{54}{2 m - 1} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} P^{'} (m) = 2 (2 m - 1) .2 - \frac{108}{{(2 m - 1)}^{2}} \\ = \frac{4 {(2 m - 1)}^{3} - 108}{{(2 m - 1)}^{2}} \\ P^{'} (m) = 0 \Leftrightarrow 4 (2 m - 1)^{3} - 108 = 0 \Leftrightarrow (2 m - 1)^{3} = 27 \\ \Leftrightarrow 2 m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2 \end{array}$

Lập bảng biến thiến của $P (m)$ , suy ra để biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $m = 2$

Chọn C.

Câu 48.(VD).

Phương pháp:

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số $y = | f (x) |$ suy ra số điểm cực trị.

Cách 2. Số điểm cực trị của hàm số $y = | f (x) |$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ cộng với số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ với trục hoành

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình $f (x) = 0$ có $4$ nghiệm phân biệt. Nên số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ với trục hoành là $4$ .

Ngoài ra, hàm số $y = f (x)$ có $3$ điểm cực trị.

Suy ra, hàm số $y = | f (x) |$ có $4 + 3 = 7$ điểm cực trị

Chọn A.

Câu 49. (VD)

Phương pháp:

Áp dụng công thức lãi kép: $T = A . (1 + r)^{n}$

Chú ý: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$ .

Cách giải:

Theo công thức lãi kép ta có:

$T = A . (1 + r)^{n}$ trong đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là phần tẳm lãi suất; $n$ số kì gửi và $T$ là số tiền tính cả gốc lẫn lãi.

Để số tiền người đó thu được ( cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu thì $T = 2 A$

Suy ra: $2 A = A . (1 + r)^{n} \Leftrightarrow 2 = (1 + r)^{n} = (1 + 7, 5 %)^{n}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1, 075} 2 = 9, 6$ (năm)

Suy ra, sau ít nhất 10 năm thì số tiền người đó thu được ( cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu.

Chọn B.

Câu 50. (VD)

Phương pháp:

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

+ Chú ý: Để hai đường thẳng $y = a_{1} x + b_{1}; y = a_{2} x + b_{2}$ song song với nhau thì $a_{1} = a_{2}; b_{1} \neq b_{2}$ .

Cách giải:
Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Lấy $y$ chia $y^{'}$ ta được:

$y = (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) y^{'} - 2 x + 1$ .

Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = - 2 x + 1$ .

Để đường thẳng $y = (2 m - 1) x + m + 3$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị thì ${\begin{matrix} 2 m - 1 = - 2 \\ m + 3 \neq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m = \frac{- 1}{2} \\ m \neq - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow m = \frac{- 1}{2}$

Chú ý: Để viết phương trình đi qua hai điểm cực trị, ta có thể tìm tọa độ cụ thể của hai điểm đó. Rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm – đã học lớp 10.

Chọn D.

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"