Đề cương lý thuyết ôn tập học kỳ I môn toán lớp 12

PHẦN 1.

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a,b} \right).\)

2. Cực trị của hàm số

*) Quy tắc 1: (dựa vào dấu hiệu 1)

+) Tính \(y'\)

+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định)

+) Lập bảng xét dấu \(y'\) và dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

*) Quy tắc 2: (dựa vào dấu hiệu 2)

+) Tính \(f'\left( x \right),f''\left( x \right)\).

+) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm.

+) Thay nghiệm vừa tìm vào \(f''\left( x \right)\) và kiểm tra, từ đó suy kết luận.

3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho \(D\) là một khoảng)

- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên \(D.\)

- Lập BBT cho hàm số trên \(D.\)

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho \(\left[ {a;b} \right]\)) . Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\)

- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên \(\left[ {a,b} \right]\).

- Giả sử phương trình có các nghiệm \({x_1},{x_2},... \in \left[ {a,b} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...\).

- So sánh chúng và kết luận.

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

+) Đường thẳng \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =  + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =  - \infty \) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =  + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =  - \infty \)

+) Đường thẳng \(y = b\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = b\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = b\)

5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\)

c) Các dạng đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

+) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}\)

+) Đạo hàm: \(y = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

- Nếu \(ad - bc > 0\) hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư thứ 2 và 4

- Nếu \(ad - bc < 0\) hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: \(x =  - \dfrac{d}{c}\) và TCN: \(y = \dfrac{a}{c}\)

+) Đồ thị có tâm đối xứng: \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm \(m\).

Dạng 3: Tìm cực trị của hàm số.

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc ở trên.

Chú ý: Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của \(y'\))

- Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\).

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\).

- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

- Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm \(m\).

Dạng 5. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.

- Bước 2: Tính các giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\),  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y\)

- Bước 3: Kết luận:

Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

thì \(x = {x_0}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu thức có nghiệm (nếu cần) và tính các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) của mẫu thức.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:

Hàm số có một (hai, ba,…) tiệm cận đứng nếu mẫu thức có một (hai, ba,…) nghiệm không là nghiệm của tử thức.

- Bước 3: Thay các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.

Lưu ý: Nếu bài chỉ yêu cầu có tiệm cận đứng thì ta chỉ cần một nghiệm của mẫu không phải nghiệm của tử là đủ.

Dạng 7. Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

Cho \(2\) hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\) 

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right):\)\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( * \right)\)

+) Giải phương trình tìm \(x\) từ đó suy ra \(y\) và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của \(\left( * \right)\) là số giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\)

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng \(F\left( {x,m} \right) = 0\) (phương trình ẩn \(x\) tham số \(m\))

+) Cô lập \(m\) đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\)

+) Lập BBT cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra \(m.\)

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi \(m\) độc lập với \(x.\)

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm \(F\left( {x,m} \right) = 0\)

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử \(x = {x_0}\) là \(1\) nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: \(F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) (\(g\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc \(2\) ẩn \(x\) tham số \(m\)).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc \(2\) \(g\left( x \right) = 0\).

Dạng 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right) \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

- Bước 3: Kết luận.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của \(\left( C \right)\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

- Bước 3: Thay tọa độ \(\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) vào phương trình trên, giải phương trình tìm \({x_0}\).

- Bước 4: Thay mỗi giá trị \({x_0}\) tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc \(k\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = k\) tìm nghiệm \({x_1},{x_2},...\).

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm \(\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right),\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right),...\)

PHẦN 2.

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1. Lũy thừa và logarit

2. Hàm số mũ và hàm số logarit

3. Phương trình mũ, phương trình logarit

4. Bất phương trình mũ và logarit

5. Một vài lưu ý

PHẦN 3.

KHỐI ĐA DIỆN

I. HÌNH ĐA DIỆN, KHỐI ĐA DIỆN

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế  được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đó.

2. Khối đa diện lồi

Khối đa diện \(\left( H \right)\) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \(\left( H \right)\) luôn thuộc \(\left( H \right).\) Khi đó đa diện giới hạn \(\left( H \right)\) được gọi là đa diện lồi (Hình 2.1.

Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2)

Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi \(D\) là số đỉnh, \(C\) là số cạnh, \(M\) là số mặt thì \(D - C + M = 2\)

3. Khối da diện đều

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(p\) cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(q\) mặt.

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại \(\left\{ {p;q} \right\}.\)

Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại \(\left\{ {3,3} \right\},\) loại \(\left\{ {4,3} \right\},\;\) loại \(\left\{ {3,4} \right\},\) loại \(\left\{ {5,3} \right\},\) và loại \(\left\{ {3,5} \right\}.\)

II. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Thể tích khối chóp

1.1 Nếu khối chóp đã cho có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(B\) thì thể tích tính theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Bh\)

1.2 Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy.

     a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.

     b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.

     c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.

     d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

     e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.

1.3 Tỉ số thể tích

+) Cho khối chóp \(S.ABC,{\rm{ }}A' \in SA,{\rm{ }}B' \in SB,{\rm{ }}C' \in SC\). Khi đó \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

+) Với điểm \(M \in SC\) ta có: \(\dfrac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}\)

2. Thể tích khối lăng trụ

a) Thể tích khối lăng trụ

\(V = B.h\) với \(B\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

\(V = abc\) với \(a,b,c\) là ba kích thước

c) Thể tích khối lập phương

\(V = {a^3}\) với \(a\) là độ dài cạnh

PHẦN 4.

KHỐI TRÒN XOAY

1. Hình nón, khối nón

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh \( \to \) Thiết diện là tam giác cân.
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón\( \to \)giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón\( \to \)giao tuyến là \(2\) nhánh của \(1\) hypebol.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với \(1\) đường sinh hình nón\( \to \)giao tuyến là \(1\) đường parabol.

2. Hình trụ, khối trụ

+  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \(r\)) bởi một \(mp\left( \alpha  \right)\) vuông góc với trục \(\Delta \) thì ta được đường tròn có tâm trên \(\Delta \) và có bán kính bằng \(r\) với \(r\) cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
 + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \(r\)) bởi một \(mp\left( \alpha  \right)\) không vuông góc với trục \(\Delta \) nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng \(2r\) và trục lớn bằng \(\dfrac{{2r}}{{\sin \alpha }}\), trong đó \(\varphi \) là góc giữa trục \(\Delta \) và \(mp\left( \alpha  \right)\) với \(0 < \varphi  < {90^0}.\)
 Cho \(mp\left( \alpha  \right)\) song song với trục \(\Delta \) của mặt trụ tròn xoay và cách \(\Delta \) một khoảng \(k.\)
+ Nếu \(k < r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) cắt mặt trụ theo hai đường sinh \( \to \) thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu \(k = r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu \(k > r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) không cắt mặt trụ.

3. Mặt cầu, khối cầu

a) Định nghĩa

+ Mặt cầu: \(S\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM = R} \right\}\)

+ Khối cầu: \(V\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM \le R} \right\}\)

b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu \(S\left( {O;R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Gọi \(d = d\left( {O;\left( P \right)} \right).\)

+) Nếu \(d < R\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên \(\left( P \right),\) có tâm \(H\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \)

+) Nếu \(d = R\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại tiếp điểm \(H.\) (\(\left( P \right)\) được gọi là tiếp diện của \(\left( S \right)\))

+) Nếu \(d > R\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không có điểm chung.

Khi \(d = 0\) thì \(\left( P \right)\) đi qua tâm \(O\) và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng \(R\) được gọi là đường tròn lớn.

c) Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

d) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

+) Cách 1: Nếu \(\left( {n - 2} \right)\) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.

+) Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

  – Xác định trục \(\Delta \) của đáy (\(\Delta \) là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm                             đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

  – Xác định mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\) của một cạnh bên.

  – Giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

e) Diện tích – Thể tích

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]