Đề bài
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = {x^2} + 3\) là
A. \(\frac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\)
B. \({x^3} + 3x + C\)
C. \(\frac{{{x^3}}}{2} + 3x + C\)
D. \({x^2} + 3x + C\)
Câu 2: Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\).
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
B. \(\int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \)
C. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)
D. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)
Câu 3: Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: \(\frac{{x - 4}}{7} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z + 7}}{{ - 5}}\)
A. \(\mathop u\limits^ \to = \left( {7; - 4; - 5} \right)\)
B. \(\mathop u\limits^ \to = \left( {5; - 4; - 7} \right)\)
C. \(\mathop u\limits^ \to = \left( {4;5; - 7} \right)\)
D. \(\mathop u\limits^ \to = \left( {14;8; - 10} \right)\)
Câu 4: Tìm mô đun của số phức \(z = 5 - 4i\)
A. 9
B. 3
C. \(\sqrt {41} \)
D. 1
Câu 5: Cho số phức \(z = 1 - 2i\). Tìm phần ảo của số phức \(z\).
A. -2
B. \(2i\)
C. \( - 2i\)
D. 1
Câu 6: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) có tâm và bán kính lần lượt là
A. \(I\left( { - 1;3;2} \right),\,\,R = 9\)
B. \(I\left( { - 1;3;2} \right),\,\,R = 3\)
C. \(I\left( {1;3;2} \right),\,\,R = 3\)
D. \(I\left( {1; - 3; - 2} \right),\,\,R = 9\)
Câu 7: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = 1 - 2i\)
A. \(2 - i\)
B. \( - 1 - 2i\)
C. \( - 1 + 2i\)
D. \(1 + 2i\)
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;3} \right)\) và \(B\left( {3;0; - 2} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} .\)
A. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;5} \right)\)
B. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\)
C. \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\)
D. \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 5} \right)\)
Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) có phương trình là
A. \(x + 2y - z + 4 = 0\)
B. \(2x - y - z + 4 = 0\)
C. \(2x + y - z - 4 = 0\)
D. \(2x + y + z - 4 = 0\)
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3}\) là
A. \(4{x^4} + C\)
B. \(12{x^2} + C\)
C. \(\frac{{{x^4}}}{4} + C\)
D. \({x^4} + C\)
Câu 11: Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng?
A. \(\int {{e^x}dx} = - {e^x} + C\)
B. \(\int {dx} = x + C\)
C. \(\int {\frac{1}{x}dx} = - \ln x + C\)
D. \(\int {\cos xdx} = - \sin x + C\)
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 3; - 1;2} \right)\). Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b .\)
A. 2
B. 10
C. 3
D. 4
Câu 13: Trong không gian Oxyz, điểm \(M\left( {3;4; - 2} \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. \(\left( S \right):x + y + z + 5 = 0\)
B. \(\left( Q \right):x - 1 = 0\)
C. \(\left( R \right):x + y - 7 = 0\)
D. \(\left( P \right):z - 2 = 0\)
Câu 14: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;0; - 3} \right)\)và bán kính \(R = 3\)?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\)
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)
Câu 15: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;0; - 5} \right)\) là
A. \(4x - 5y - 4 = 0\)
B. \(4x - 5z - 4 = 0\)
C. \(4x - 5y + 4 = 0\)
D. \(4x - 5z + 4 = 0\)
Câu 16: Nghiệm của phương trình \(\left( {3 + i} \right)z + \left( {4 - 5i} \right) = 6 - 3i\) là
A. \(z = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i\)
B. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
C. \(z = \frac{4}{5} + \frac{2}{5}i\)
D. \(z = 1 + \frac{1}{2}i\)
Câu 17: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)có phương trình là
A. \(y + 2 = 0\)
B. \(x + z - 1 = 0\)
C. \(y - 2 = 0\)
D. \(y + 1 = 0\)
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x\) và trục hoành.
A. 2
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{{20}}{3}\)
D. \(\frac{{ - 4}}{3}\)
Câu 19: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 0 \right) = 2,\) \(F\left( 3 \right) = 7\). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx.\)
A. 9
B. -9
C. 5
D. -5
Câu 20: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 6z + 14 = 0\). Tính \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(S = 3\sqrt 2 \)
B. \(S = 2\sqrt 6 \)
C. \(S = 4\sqrt 3 \)
D. \(S = 2\sqrt {14} \)
Câu 21: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - z - 11 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\).
A. \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 5\)
B. \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 3\)
C. \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\)
D. \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 4\)
Câu 22: Cho \(z = 1 + \sqrt 3 i\). Tìm số phức nghịch đảo của số phức \(z\).
A. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
B. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
C. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
D. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
Câu 23: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{2019} {{e^{2x}}dx} .\)
A. \(I = \frac{1}{2}{e^{4038}}\)
B. \(I = \frac{1}{2}{e^{4038}} - 1\)
C. \(I = \frac{1}{2}\left( {{e^{4038}} - 1} \right)\)
D. \({e^{4038}} - 1\)
Câu 24: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{2019} {f\left( x \right)dx} = 1\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {2019x} \right)dx} .\)
A. \(I = 0\)
B. \(I = 1\)
C. \(I = 2019\)
D. \(I = \frac{1}{{2019}}\)
Câu 25: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua 2 điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\), \(B\left( {2;3;1} \right)\) và song song với trục \(Oz\) có phương trình là
A. \(x - y + 1 = 0\)
B. \(x - y - 3 = 0\)
C. \(x + z - 3 = 0\)
D. \(x + y - 3 = 0\)
Câu 26: Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 10\) và \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx} .\)
A. 20
B. -4
C. 16
D. 4
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số \(y = x\sin x\) là
A. \( - x\cos x - \sin x + C\)
B. \(x\cos x - \sin 2x + C\)
C. \( - x\cos x + \sin x + C\)
D. \(x\cos x - \sin x + C\)
Câu 28: Cho số phức \(z = 2 + 5i\). Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là
A. \(\left( {2; - 5} \right)\)
B. \(\left( {5;2} \right)\)
C. \(\left( {2;5} \right)\)
D. \(\left( { - 2;5} \right)\)
Câu 29: Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_2^{ - 1} {g\left( x \right)dx} = 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \)
A. \(\frac{5}{2}\)
B. \(\frac{{21}}{2}\)
C. \(\frac{{26}}{2}\)
D. \(\frac{7}{2}\)
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\). Đường thẳng nào sau đây song song với d?
A.\(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)
B. \(\Delta :\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\)
C. \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)
D. \(\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)
Câu 31: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{5x - 3}}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = 5{e^{5x - 3}} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{5}{e^{5x - 3}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{5x - 3}} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{1}{3}{e^{5x - 3}} + C\)
Câu 32: Tìm các số thực \(x,y\) thỏa mãn: \(x + 2y + \left( {2x - 2y} \right)i = 7 - 4i\)
A.\(x = \frac{{11}}{3},y = - \frac{1}{3}\)
B. \(x = - \frac{{11}}{3},y = \frac{1}{3}\)
C. \(x = 1,y = 3\)
D. \(x = - 1,y = - 3\)
Câu 33: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;1;2} \right)\) là
A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
B. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
C. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}\)
D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\)
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( { - 3;4} \right)\) biểu diễn cho số phức z. Tìm tọa độ điểm B biểu diễn cho số phức \(\omega = i\overline z \).
A. \(B\left( {3; - 4} \right)\)
B. \(B\left( {4;3} \right)\)
C. \(B\left( {3;4} \right)\)
D. \(B\left( {4; - 3} \right)\)
Câu 35: Cho số phức \(z = 1 + 3i\). Tìm phần thực của số phức \({z^2}\).
A. -8
B. \(8 + 6i\)
C. 10
D. \( - 8 + 6i\)
Câu 36: Cho tích phân \(I = \int\limits_3^5 {\frac{1}{{2x - 1}}dx} = a\ln 3 + b\ln 5\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính \(S = a + b.\)
A. \(S = 0\)
B. \(S = - \frac{3}{2}\)
C. \(S = 1\)
D. \(S = \frac{1}{2}\)
Câu 37: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - 5} \right)dx} .\)
A. -3
B. -4
C. 2
D. 4
Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ\(\overrightarrow a = \left( { - 2;0;1} \right),\) \(\overrightarrow b = \left( {1;2; - 1} \right),\) \(\overrightarrow c = \left( {0;3; - 4} \right)\). Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b + 3\overrightarrow c .\)
A. \(\overrightarrow u = \left( { - 5;7;9} \right)\)
B. \(\overrightarrow u = \left( { - 5;7; - 9} \right)\)
C. \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3; - 4} \right)\)
D. \(\overrightarrow u = \left( { - 3;7; - 9} \right)\)
Câu 39: Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} .\)
A. \(I = - 1\)
B. \(I = \frac{1}{2}\)
C. \(I = - \frac{1}{2}\)
D. \(I = 1\)
Câu 40: Cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) ẩn z và b, c là tham số thuộc tập số thực. Biết phương trình nhận \(z = 1 + i\) là một nghiệm. Tính \(T = b + c.\)
A. \(T = 0\)
B. \(T = - 1\)
C. \(T = - 2\)
D. \(T = 2\)
Câu 41: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \(d':\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 4}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)
A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\)
B. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\)
C. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\)
D. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\)
Câu 42: Biết \(1 + i\) là nghiệm của phương trình \(zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)ẩn z trên tập số phức. Tìm \({b^2} - {a^3}.\)
A. 8
B. 72
C. -72
D. 9
Câu 43: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2} + 1\,\,\,\left( {a > 0} \right)\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\). Quay \(\left( H \right)\)quanh trục Ox được một khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{{28}}{{15}}\pi \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(2 < a < 3\)
B. \(0 < a < 2\)
C. \(5 < a < 8\)
D. \(3 < a < 5\)
Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2},\) \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng d đi qua \(A\left( {5; - 3;5} \right)\) lần lượt cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) tại B và C. Độ dài BC là:
A. 19
B. \(3\sqrt 2 \)
C. \(2\sqrt 5 \)
D. \(\sqrt {19} \)
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oyz) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
A. \(\overrightarrow u = \left( {0;1; - 3} \right)\)
B. \(\overrightarrow u = \left( {0;1;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\)
D. \(\overrightarrow u = \left( {2;0;0} \right)\)
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 6\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính R bằng:
A. \(\sqrt {10} \)
B. 10
C. \(2\sqrt 2 \)
D. \(\sqrt 2 \)
Câu 47: Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1, tâm trùng gốc tọa độ (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.
A. \(V = \pi \)
B. \(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(V = 3\sqrt 3 \)
D. \(V = \sqrt 3 \)
Câu 48: Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\). Tính \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\).
A. \(\sqrt 3 \)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. 1
D. \(2\sqrt 3 \)
Câu 49: Xét số phức z thỏa mãn \(\left| {iz - 2i - 2} \right| - \left| {z + 1 - 3i} \right| = \sqrt {34} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {\left( {1 - i} \right)z + 1 + i} \right|.\)
A. \({P_{\min }} = \sqrt {34} \)
B. \({P_{\min }} = \sqrt {17} \)
C. \({P_{\min }} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\)
D. \({P_{\min }} = \frac{{13}}{{\sqrt {17} }}\)
Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {3;1;2} \right),\) \(B\left( { - 3; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại M. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy.
A. 1 B. 5 C. 3 D. 4
Lời giải chi tiết
| 1. A | 2. A | 3. D | 4. C | 5. A |
| 6.B | 7. D | 8. D | 9. C | 10. D |
| 11. B | 12. D | 13. C | 14. A | 15. D |
| 16. C | 17. A | 18. B | 19. C | 20. D |
| 21. A | 22. D | 23. C | 24. D | 25. A |
| 26. C | 27. C | 28. C | 29. B | 30. A |
| 31. B | 32. C | 33. B | 34. D | 35. A |
| 36. D | 37. B | 38. B | 39. D | 40. A |
| 41. B | 42. D | 43. B | 44. D | 45. A |
| 46. A | 47. B | 48. A | 49. A | 50. D |
Câu 1 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\).
Cách giải:
\(f\left( x \right) = {x^2} + 3\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\)
Chọn A.
Câu 2 (NB)
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\)và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Cách giải:
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\)và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Chọn A.
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Đường thẳng \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(u\left( {a;b;c} \right)\).
- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là 1 VTCP của đường thẳng.
Cách giải:
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{7} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z + 7}}{{ - 5}}\) có 1 VTCP là \(\left( {7;4; - 5} \right).\)
Dựa vào các đáp án ta thấy vectơ \(\overrightarrow u = \left( {14;8; - 10} \right)\) cùng phương với vectơ \(\left( {7;4; - 5} \right)\) nên cũng là 1 VTCP của đường thẳng d.
Chọn D.
Câu 4 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính mô đun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Cách giải:
\(\left| {\overrightarrow z } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {41} .\)
Chọn C.
Câu 5 (NB)
Phương pháp:
Số phức \(z = a + bi\) có phần ảo bằng b.
Cách giải:
\(z = 1 - 2i\) có phần ảo là -2
Chọn A.
Câu 6 (NB)
Phương pháp:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính R.
Cách giải:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3.\)
Chọn B.
Câu 7 (NB)
Phương pháp:
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\).
Cách giải:
\(z = 1 - 2i \Rightarrow \overline z = 1 + 2i.\)
Chọn D.
Câu 8 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tìm tọa độ vectơ trong không gian: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).
Cách giải:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;2;3} \right)\\B\left( {3;0; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 5} \right).\)
Chọn D.
Câu 9 (TH)
Phương pháp:
- Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT là VTCP của đường thẳng d.
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Đường thẳng d có 1 VTCP là: \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\).
Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {2;1; - 1} \right)\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 4 = 0\).
Chọn C.
Câu 10 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\).
Cách giải:
\(f\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow F\left( x \right) = {x^4} + C.\)
Chọn D.
Câu 11 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\), \(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\), \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\cos xdx} = - \sin x + C\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \\\int {dx = x + C} \\\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \\\int {\cos xdx = \sin x + C} \end{array}\)
Chọn B.
Câu 12 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ: \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\), \(\overrightarrow b \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).
Cách giải:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + 3.\left( { - 1} \right) + 2.2\)\( = 3 - 3 + 4 = 4\)
Chọn D.
Câu 13 (NB)
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm đã cho vào các phương trình trong đáp án.
Cách giải:
\(3 + 4 - 7 = 0\) \( \Rightarrow M\left( {3;4; - 2} \right) \in \left( R \right):x + y - 7 = 0\)
Chọn C.
Câu 14 (NB)
Phương pháp:
Phương trình mặt cầu tìm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), bán kính R là: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).
Cách giải:
Phương trình mặt cầu tìm \(I\left( {1;0; - 3} \right)\), bán kính R = 3 là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\)
Chọn A.
Câu 15 (NB)
Phương pháp:
Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Phương trình mặt phẳng (P) là: \(4\left( {x + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow 4x - 5z + 4 = 0.\)
Chọn D.
Câu 16 (TH)
Phương pháp:
- Biến đổi phương trình số phức, giải phương trình dạng \(az = b \Leftrightarrow z = \frac{b}{a}\).
- Sử dụng MTCT để thực hiện phép chia số phức.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {3 + i} \right)z + \left( {4 - 5i} \right) = 6 - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = 6 - 3i - \left( {4 - 5i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 2i}}{{3 + i}} = \frac{4}{5} + \frac{2}{5}i\end{array}\)
Chọn C.
Câu 17 (TH)
Phương pháp:
- Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính R.
- Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT.
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\).
Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (Oxz) nên có 1 VTPT là \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(1\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2 = 0.\)
Chọn A.
Câu 18 (TH)
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\)và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{4}{3}.\)
Chọn B.
Câu 19 (TH)
Phương pháp:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}.\) Khi đó ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Cách giải:
Ta có : \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 7 - 2 = 5.\)
Chọn C.
Câu 20 (TH)
Phương pháp:
Giải nghiệm phương trình bậc hai và tính mô đun số phức.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}{z^2} - 6z + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 3 - \sqrt 5 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {9 + 5} = \sqrt {14} \\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {14} .\end{array}\)
Chọn D.
Câu 21 (TH)
Phương pháp:
Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0 là \(d = \frac{{\left| {D - D'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Cách giải:
\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 11 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5.\)
Chọn A.
Câu 22 (TH)
Phương pháp:
Số phức nghịch đảo của số phức z là \(\frac{1}{z}\).
Cách giải:
\(\frac{1}{z} = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i.\)
Chọn D.
Câu 23 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\).
Cách giải:
\(\int\limits_0^{2019} {{e^{2x}}dx} = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^{2019}\)\( = \frac{1}{2}\left( {{e^{4038}} - {e^0}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{4038}} - 1} \right).\)
Chọn C.
Câu 24 (TH)
Phương pháp:
Biến đổi tích phân bằng phương pháp đổi biến, đặt \(t = 2019x\).
Cách giải:
Đặt \(t = 2019x \Rightarrow dt = 2019dx.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2019\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {2019x} \right)dx} = \int\limits_0^{2019} {f\left( t \right)\frac{{dt}}{{2019}}} \)\( = \frac{1}{{2019}}.\int\limits_0^{2019} {f\left( t \right)dt} \)\( = \frac{1}{{2019}}.\int\limits_0^{2019} {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{{2019}}.\)
Chọn D.
Câu 25 (TH)
Phương pháp:
- Xác định VTPT của (P): \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow k = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right]\).
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).
Vì \(A,\,\,B \in \left( P \right) \Rightarrow AB \subset \left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {AB} = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).
Lại có \(\left( P \right)\parallel Oz\) nên \(\overrightarrow {{n_{ P}}} .\overrightarrow k = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) với \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right].\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right);\,\,\,\,\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right).\)
Suy ra mặt phẳng (P) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(1.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\)
Chọn A.
Câu 26 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Cách giải:
\(\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} \) \( = 10 + 6 = 16\)
Chọn C.
Câu 27 (TH)
Phương pháp:
Nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Cách giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x \Rightarrow du = dx\\dv = \sin xdx \Rightarrow v = - \cos x\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin xdx = - x\cos x - \int { - \cos xdx} } \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x\cos x + \int {\cos xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x\cos x + \sin x + C\end{array}\)
Chọn C.
Câu 28 (NB)
Phương pháp:
Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {a;b} \right)\).
Cách giải:
Điểm biểu diễn số phức \(z = 2 + 5i\) trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {2;5} \right)\).
Chọn C.
Câu 29 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \), \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 1}^2 {xdx} + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} \\\,\,\,\, = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_2^{ - 1} {g\left( x \right)dx} \\\,\,\,\, = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} + 2.3 + 3.1 = \frac{{21}}{2}.\end{array}\)
Chọn B.
Câu 30 (TH)
Phương pháp:
Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi 2 VTCP cùng phương với nhau và hai đường thẳng không có điểm chung nào.
Cách giải:
Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;2} \right)\).
Dễ thấy đáp án D đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;2} \right)\) nên ta loại đáp án D.
Chọn \(A\left( {1; - 1;3} \right) \in d\), thay tọa độ điểm A vào đáp án A ta có: \(\frac{{1 - 2}}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2}}\) (vô lí) \( \Rightarrow A \notin \Delta \).
Vậy đường thẳng ở đáp án A song song với đường thẳng d.
Chọn A.
Câu 31 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\).
Cách giải:
\(\int {{e^{5x - 3}}dx} = \frac{1}{5}{e^{5x - 3}} + C.\)
Chọn B.
Câu 32 (TH)
Phương pháp:
Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 2y + \left( {2x - 2y} \right)i = 7 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\2x - 2y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn C.
Câu 33 (TH)
Phương pháp:
- Đường thẳng đi qua điểm M, N nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTCP.
- Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\)và có 1 VTCP \(u\left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).
Cách giải:
Đường thẳng đi qua điểm M, N nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;1;2} \right)\) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng MN là: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}.\)
Chọn B.
Câu 34 (TH)
Phương pháp:
- Tìm số phức z.
- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z = a - bi\).
- Thực hiện phép nhân, tìm số phức \(w = i\overline z \).
- Điểm biểu diễn số phức \(w = a + bi\) trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {a;b} \right)\).
Cách giải:
Điểm A(-3;4) biểu diễn cho số phức z \( \Rightarrow z = - 3 + 4i\) \( \Rightarrow \overline z = - 3 - 4i\).
\( \Rightarrow \omega = i\overline z = i\left( { - 3 - 4i} \right) = 4 - 3i.\)
Vậy điểm biểu diễn số phức w là \(B\left( {4; - 3} \right).\)
Chọn D.
Câu 35 (TH)
Phương pháp:
- Tính số phức \({z^2}\).
- Phần thực của số phức z = a + bi là a.
Cách giải:
\(z = 1 + 3i \Rightarrow {z^2} = {\left( {1 + 3i} \right)^2} = - 8 + 6i\)
Vậy phần thực của số phức \({z^2}\) là -8.
Chọn A.
Câu 36 (TH)
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).
- Đồng nhất hệ số tìm a, b và tính tổng S = a + b.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_3^5 {\frac{1}{{2x - 1}}dx} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_3^5\\\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {2.5 - 1} \right| - \ln \left| {2.3 - 1} \right|} \right)\\\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\left( {\ln 9 - \ln 5} \right) = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5\\ \Rightarrow a = 1;\,\,b = - \frac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(S = a + b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\)
Chọn D.
Câu 37 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\).
Cách giải:
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - 5} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right|_0^1 = \left( {1 - 5} \right) - 0 = - 4\)
Chọn B
Câu 38 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow k\overrightarrow u = \left( {ka;kb;kc} \right)\\\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {a + a';b + b';c + c'} \right)\end{array}\)
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b + 3\overrightarrow c \\\,\,\,\, = 2.\left( { - 2;0;1} \right) - \left( {1;2; - 1} \right) + 3\left( {0;3; - 4} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 4;0;2} \right) - \left( {1;2; - 1} \right) + \left( {0;9; - 12} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 5;7; - 9} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Câu 39 (VD)
Phương pháp:
- Đổi biến, đặt \(t = \sin x\).
- Đưa toàn bộ tích phân về biến t, chú ý đổi cận.
- Sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \)
\(= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \).
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2.\left[ {\left. {\left( {t.f\left( t \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 1.\end{array}\)
Chọn D.
Câu 40 (VD)
Phương pháp:
- Thay số phức \(z = 1 + i\) vào phương trình và biến đổi.
- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.
Cách giải:
Vì \(z = 1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow b + c + \left( {b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(T = b + c = 0\).
Chọn A.
Câu 41 (VD)
Phương pháp:
- Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.
- Gọi \(M = \Delta \cap d,\,\,\,N = \Delta \cap d'\), tham số hóa tọa độ điểm M và N.
- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\), với \(\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng d và d’.
- Tìm tọa độ điểm M, N, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua M, N.
Cách giải:
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.
Gọi \(M\left( {2a + 2;3a + 3; - 5a - 4} \right) = \Delta \cap d,\) \(N\left( {3b - 1; - 2b + 4; - b + 4} \right) = \Delta \cap d'\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {3b - 2a - 3; - 2b - 3a + 1; - b + 5a + 8} \right)\).
Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 5} \right)\), đường thẳng d’ có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3b - 2a - 3} \right) + 3\left( { - 2b - 3a + 1} \right) \\- 5\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\\3\left( {3b - 2a - 3} \right) - 2\left( { - 2b - 3a + 1} \right) \\- 1\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b - 38a - 43 = 0\\14b - 5a - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {0;0;1} \right)\\N\left( {2;2;3} \right)\end{array} \right. \\\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}.\)
Chọn B.
Câu 42 (VD)
Phương pháp:
- Thay \(z = 1 + i\) vào phương trình.
- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.
- Giải hệ phương trình tìm a, b.
Cách giải:
Vì \(z = 1 + i\) là 1 nghiệm của phương trình \(zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + i} \right)i + a.\left( {i + 1} \right)i + b\left( {i + 1} \right) + a = 0\\ \Leftrightarrow - 1 + i + a\left( { - 1 + i} \right) + b + bi + a = 0\\ \Leftrightarrow b - 1 + \left( {1 + a + b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\1 + a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \({b^2} - {a^3} = {1^2} - {\left( { - 2} \right)^3} = 9.\)
Chọn D.
Câu 43 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay
Cách giải:
\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{2}.\left( {\int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt 3 .4{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{4} + \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\sqrt 3 .4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{4}} } } \right)\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) = \end{array}\)
Vậy \(0 < a < 2\)
Chọn B
Câu 44 (VD)
Cách giải:
\(\begin{array}{l}{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2} = a\\ \Rightarrow B\left( {a + 1; - a - 1;2a} \right)\\{d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1} = b\\ \Rightarrow C\left( {b;2b + 1;b} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {b - 5;2b + 4;b - 5} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( {a - 4; - a + 2;2a - 5} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 5 = k\left( {a - 4} \right)\\2b + 4 = k\left( { - a + 2} \right)\\b - 5 = k\left( {2a - 5} \right)\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\k = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\\ \Rightarrow BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19} \end{array}\)
Chọn D
Câu 45 (VD)
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\left( {Oyz} \right):x = 0\\A\left( { - 3;1;1} \right),B\left( {0;\frac{5}{2};\frac{{ - 7}}{2}} \right) \in d\end{array}\)
Hình chiếu của A,B lên (Oyz) lần lượt là \(A'\left( {0;1;1} \right),B'\left( {0;\frac{5}{2};\frac{{ - 7}}{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B'} = \left( {0;\frac{3}{2};\frac{{ - 9}}{2}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {0;1; - 3} \right)\end{array}\)
Chọn A
Câu 46 (VD)
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ tâm I đến AB
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của I lên d
\(\begin{array}{l}d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}} = t\\ \Rightarrow H\left( {2t + 1;2t - 1; - t} \right)\\HI = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2} + {{\left( { - t + 1} \right)}^2}} \\= \sqrt {9{t^2} - 6t + 2} \\H{I_{\min }} = 1 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow R = \sqrt {H{I^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \end{array}\)
Chọn A
Câu 47 (VD)
Cách giải:
Độ dài cạnh của tam giác đều cắt trục Ox là \(a = 2.\sqrt {1 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác đều đó là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)\)
Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {Sdx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Chọn B
Câu 48 (TH)
Cách giải:
\(\begin{array}{l}2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \\= {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{1^2} + {1^2}} \right) - {1^2} = 3\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array}\)
Chọn A.
Câu 49 (VDC)
Cách giải:
Đặt \(z = a + bi\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {iz - 2i - 2} \right| - \left| {z + 1 - 3i} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 2i - 2} \right|\\ - \left| {a + bi - 3i + 1} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \left| {\left( { - b - 2} \right) + \left( {a - 2} \right)i} \right| \\- \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = \sqrt {34} \\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \\- \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \end{array}\)
Biểu diễn \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( { - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy
\(MN = \sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \)
Điểm biểu diễn của số phức z là \(A\left( {a;b} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM - AN = \sqrt {34} \\MN = \sqrt {34} \end{array} \right. \Rightarrow AM - AN = MN\)
Suy ra N nằm giữa A và M.
\(\begin{array}{l}MN:5x + 3y - 4 = 0\\ \Rightarrow 5a + 3b - 4 = 0\\ \Rightarrow b = \frac{{4 - 5a}}{3}\left( {a < - 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}P = \left| {\left( {1 - i} \right)z + 1 + i} \right|\\ = \left| {\left( {a + b + 1} \right) + \left( {b - a + 1} \right)i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {a + b + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - a + 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{7 - 2a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7 - 8a}}{3}} \right)}^2}} \\ = \frac{1}{3}\sqrt {68{a^2} - 140a + 98} \end{array}\)
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 68{a^2} - 140a + 98\\f'\left( x \right) = 136a - 140 = 0 \Rightarrow a = \frac{{35}}{{34}}\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Suy ra \({P_{\min }} = \frac{1}{3}.\sqrt {306} = \sqrt {34} \)
Chọn A.
Câu 50 (VDC)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tam giác vuông
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra \(I\left( {0;0;1} \right)\)
Ta có \(AB = \sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt {11} \)
\(\Delta ABM\) vuông tại M suy ra M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \)
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {11} \)
Suy ra M là hình chiếu của I lên (P)
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là
\(\begin{array}{l}d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;t;1 + 3t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow t + t + 3\left( {1 + 3t} \right) - 14 = 0\\ \Rightarrow t = 1\\ \Rightarrow M\left( {1;1;4} \right)\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\end{array}\)
Chọn D.
Nguồn: Sưu tầm
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian