Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)

B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)

C. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1}\)

D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\)

Câu 2: Cho \(I = 2\int\limits_0^m {x\sin 2xdx} \) và \(J = \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \) với \(m \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(I = m\cos 2m - J.\)

B. \(I =  - m\cos 2m - J.\)

C. \(I =  - m\cos 2m + J.\)

D. \(I = m\cos 2m + J.\)

Câu 3: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z - 4 = 0\) bằng

A. 3.       B. 6.       C. 9.        D. 1.

Câu 4: Số phức \(z = 8 - 7i\) có phần thực và phần ảo lần lượt bằng

A. 8 và \( - 7i\)

B. 8 và 7.

C. 8 và \(7i\)

D. 8 và \( - 7\)

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {0;0;2} \right)\) và song song với đường thẳng d: \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}\) là

A. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

B. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)

C. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

D. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{2}\)

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( { - 2;0;1} \right),\,\,N\left( {0;2; - 1} \right)\). Phường trình của mặt cầu có đường kính MN là

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt 3 \)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 3\)

C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 3\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 11\)

Câu 7: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} ,\) \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx = 4} \). Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)

A. \(I = 1\)

B. \(I =  - 1\)

C. \(I = 2\)

D. \(I = 3\)

Câu 8: Cho hàm số liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = 4\). Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) quay quanh trục hoành bằng

A. \(4{\pi ^2}\)

B. \(2\pi \)

C. \(4\pi \)

D. 4

Câu 9: Tính \(I = 4\int\limits_0^m {\sin 2xdx} \) theo số thực m.

A. \(I = 2 - 2\cos 2m\)

B. \(I = 2\cos 2m - 2\)

C. \(I = 2 - \cos 2m\)

D. \(I = \cos 2m - 2\)

Câu 10: Cho \(\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx =  - 36} \). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {4x} \right)dx} \).

A. \(I =  - 144\)

B. \(I = 9\)

C. \(I = 144\)

D. \(I =  - 9\)

Câu 11: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 3z + 2 = 0\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(E\left( {1;1;1} \right)\)

B. \(F\left( {1;1;0} \right)\)

C. \(H\left( {7;3;1} \right)\)

D. \(G\left( {4;2;0} \right)\)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 5 = 0\). Phương trình của mặt cầu có tâm

\(I\left( { - 1;0;0} \right)\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 2\)

C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 2\)

Câu 13: Tìm các số thực m, n thỏa mãn \(2m + \left( {n + i} \right)i = 3 + 4i\) với i là đơn vị ảo.

A. \(m = 2,\,\,n =  - 4.\)

B. \(m = 2,\,\,n = 4.\)

C. \(m = 2,\,\,n =  - 5.\)

D. \(m = 1,\,\,n =  - 4.\)

Câu 14: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right),\) \(N\left( {0;1;0} \right)\) và \(E\left( {1;0;0} \right)\) là

A. \(x + y - z = 0\)

B. \( - x + y + z = 1\)

C. \(x + y - z = 1\)

D. \( - x + y + z = 0\)

Câu 15: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {4x\sqrt {1 - {x^2}} } dx\) bằng cách đặt \(u = 1 - {x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(I =  - 4\int\limits_0^1 {\sqrt u du} \)

B. \(I = 2\int\limits_0^1 {\sqrt u du} \)

C. \(I = 2\int\limits_1^0 {\sqrt u du} \)

D. \(I = 4\int\limits_0^1 {\sqrt u du} \)

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) là

A. \(\int\limits_1^2 {\left| {{3^x} - 1} \right|dx} \)

B. \(\int\limits_0^2 {\left| {{3^x}} \right|dx} \)

C. \(\int\limits_1^2 {{3^x}dx} \)

D. \(\pi \int\limits_1^2 {{9^x}dx} \)

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {1;1; - 2} \right),\) \(N\left( {3;0;3} \right),\) \(P\left( {2;0;0} \right)\). Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {3; - 1;1} \right)\)

B. \(\left( {3;1;1} \right)\)

C. \(\left( {3; - 1; - 1} \right)\)

D. \(\left( {3;1; - 1} \right)\)

Câu 18: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 3\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} \) bằng

     A. \( - 3.\)                  B. \( - 2.\)                   C. 3.                          D. 2.

Câu 19: Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(M\left( {1;4; - 5} \right)\)

B. \(Q\left( { - 1;2;1} \right)\)

C. \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\)

D. \(P\left( {1;2; - 2} \right)\)

Câu 20: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\) thỏa \(F\left( 0 \right) = 4\). Khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng

A. 5.

B. \(2{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

C. 7.

D. 6.

Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn \(z\left( {1 + i} \right) = 7 + i\). Môđun của số phức z bằng

A. \(2\sqrt {10} \)

B. 25.

C. 40.

D. 5.

Câu 22: Cho \(I = 4\int\limits_0^m {{e^{\sin 2x}}\cos 2x.dx} \) với \(m \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(I = 2 - 2{e^{\cos 2m}}.\)

B. \(I = 2 - 2{e^{\sin 2m}}.\)

C. \(I = 2{e^{\sin 2m}} + 2.\)

D. \(I = 2{e^{\sin 2m}} - 2.\)

Câu 23: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {0; - 2;3} \right)\)

B. \(\left( {0;0;3} \right).\)

C. \(\left( {2;0;0} \right)\)

D. \(\left( {2;0;3} \right)\)

Câu 24: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 8x\ln x,\) \(y = 0,\) \(x = 1,\) \(x = e\) bằng

A. \(2{e^2} - 2\)

B. \(2{e^2} + 2\)

C. \(4{e^2} + 4\)

D. \(4{e^2} - 4\)

Câu 25: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4\cos x,\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = \pi \) quay quanh trục hoành bằng

A. \(4{\pi ^2}\)

B. \(8{\pi ^2}\)

C. \(2{\pi ^2}\)

D. \(8\pi .\)

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 2z + 2 = 0;\) \(\left( Q \right):x + 2y - z = 0;\)  \(\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\left( P \right)\parallel \left( R \right)\)

B. \(\left( Q \right)\parallel \left( R \right)\)

C. \(\left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\).

D. \(\left( Q \right)\) cắt \(\left( R \right)\).

Câu 27: Cho \(I = \ln 3\int\limits_0^m {x{{.3}^x}dx} \) và \(J = \int\limits_0^m {{3^x}dx} \) với \(m \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(I =  - m{3^m} - J.\)

B. \(I = m{3^m} - J.\)

C. \(I = m{3^m} + J.\)

D. \(I =  - m{3^m} + J.\)

Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 8{x^3} + 6x\) là

A. \(2{x^4} + 3{x^2} + C.\)

B. \(8{x^4} + 6{x^2} + C.\)

C. \(24{x^2} + 6 + C\)

D. \(2{x^3} + 3x + C.\)

Câu 29: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)

A. \({d_1}\parallel {d_2}.\)

B. \({d_1}\) chéo \({d_2}\).

C. \({d_1}\) trùng với \({d_2}\).

D. \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

Câu 30: Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) có tọa độ là

A. \(\left( {0; - 1; - 1} \right)\)

B. \(\left( { - 3; - 6;9} \right)\)

C. \(\left( { - 2;4;6} \right)\)

D. \(\left( {1;2;3} \right)\)

Câu 31: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là

A. \(x + z = 0.\)

B. \(y = 0\)

C. \(z = 0\)

D. \(x = 0\)

Câu 32: Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( { - 1; - 1; - 2} \right),\) \(N\left( {0;0; - 4} \right)\) là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)

B. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{2}\)

C. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\)

D. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 2}}\)

Câu 33: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 5z + 7 = 0\). Giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) bằng

A. 14.            B. 17.           C. 11.           D. 56.

Câu 34: Cho số phức \(z = 3 - 2i\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn của số phức \(\overline z \) có tọa độ là

A. \(\left( {3;2} \right)\)

B. \(\left( { - 3;2} \right)\)

C. \(\left( {3; - 2} \right)\)

D. \(\left( { - 3; - 2} \right)\)

Câu 35: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;2;3} \right)\) và vuông góc với trục Oy là \(\)

A. \(y + 2 = 0.\)

B. \(y = 0.\)

C. \(y - 2 = 0.\)

D. \(x + z = 5\)

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {2;3; - 2} \right),\) \(N\left( { - 1;1;0} \right),\) \(P\left( {1; - 1;1} \right)\), góc giữa hai đường thẳng MN và NP bằng

A. \(60^\circ \)

B. \(45^\circ \)

C. \(90^\circ \)

D. \(30^\circ \)

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( { - 3;0;3} \right),\) \(N\left( {3;0; - 3} \right)\). Phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN là

A. \(x + z = 0\).

B. \(z = 0\)

C. \(x - z = 0\).

D. \(x = 0\).

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( P \right)\) có phương trình là

A. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\)

B. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

C. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

D. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\)

Câu 39: Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + 4i} \right)\left( {\overline z  + 6} \right)\) là số thuần ảo. biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. \(\left( {3;2} \right)\)

B. \(\left( { - 3;2} \right)\)

C. \(\left( {3; - 2} \right)\)

D. \(\left( { - 3; - 2} \right)\)

Câu 40: Cho tập nghiệm của bất phương trình \(2{\left( {{{\log }_4}x} \right)^2} - 3{\log _4}x + 1 \le 0\) là \(\left[ {m;n} \right]\) với \(m,n \in \mathbb{R}\). Khi đó

\(2m + n\) bằng

     A. 7.           B. 6.            C. 8.            D. 9.

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {0;1;2} \right),\) \(B\left( { - 3;4; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z - 2 = 0\). Xét điểm M thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + M{B^2}\) bằng

     A. 27.         B. 45.           C. 21.          D. 18.

Câu 42: Cho hàm số \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{4{\rm{x}}}}\), hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){e^{4{\rm{x}}}}\) là

A. \( - 4{x^2} + 3x + C.\)

B. \( - 4{x^2} + 2x + C.\)

C. \(4{x^2} + 2x + C.\)

D. \( - 4{x^2} + x + C.\)

Câu 43: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3mx\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) là

A. 10.          B. 11.         C. 8.          D. 9.

Câu 44: Một người gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(r\% /\)năm\(\left( {r > 0} \right)\). Nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào tiền gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Sau ngày gửi 4 năm, người đó nhận được số tiền gồm cả tiền gốc và tiền lãi là 252 495 392 đồng( biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền, lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng). Lãi suất \(r\% /\)năm\(\left( {r > 0} \right)\) (r làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) là

A. 6%/năm.

B. 5%/năm.

C. 8%/năm.

D. 7%/năm.

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2{\rm{z}} - 2 = 0\). Phương trình của mặt phẳng chứa trục Oy và vuông góc với \(\left( P \right)\) là

A. \(2{\rm{x}} - z + 2 = 0\).

B. \(2x - z = 0\).

C. \(2x + z = 0\).

D. \(2x + y - z = 0.\)

Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({25^x} - {2.15^x} + \left( {m - 4} \right){.9^x} = 0\) có nghiệm dương ?

A. 3.         B. 2.            C. 4.            D. 5.

Câu 47: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(y = 18{x^2}\) và \(y = 18x\) bằng

A. 6.          B. 4.           C. 2.        D. 3.

Câu 48: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {z - 1 - i} \right|\) ?

A. 2.

B. 1.

C. 3.                          

 D. 4.

Câu 49: Cho tứ diện MNPQ có MQ vuông góc với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\),\(MP = MQ = 3,\) \(MN = 4,\) \(NP = 5\). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( {NPQ} \right)\) bằng

A. \(\frac{{6\sqrt {41} }}{{41}}\)

B. \(\frac{{4\sqrt {41} }}{{41}}\)

C. \(\frac{{24\sqrt {41} }}{{41}}\)

D. \(\frac{{12\sqrt {41} }}{{41}}\)

Câu 50: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) là

A. \(x + y + z = 0.\)

B. \(x + y - z = 0.\)

C. \(x - y + z = 1.\)

D. \(x + y - z = 1.\)

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

- Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng: \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \).

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Nên \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\)

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng tích phân từng phần để rút ra mối quan hệ của I và J.

Cách giải:

Ta có \(I = 2\int\limits_0^m {x\sin 2xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\\sin 2xdx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v =  - \frac{1}{2}\cos 2x\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = 2\left[ {\left. { - \frac{1}{2}x\cos 2x} \right|_0^m + \frac{1}{2}\int\limits_0^m {\cos 2xdx} } \right] \)\(=  - m\cos 2m + \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \)

Mà \(J = \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \) nên \(I =  - m\cos 2m + J.\)

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Ta có \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2{\rm{z}} - 4 = 0\) có

\({d_{\left( {M;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3\)

Chọn A.

Câu 4:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là a và phần ảo là b.

Cách giải:

Số phức \(z = 8 - 7i\) có phần thực là 8 và phần ảo là \( - 7\).

Chọn D.

Câu 5:

Phương pháp:

- Hai đường thẳng song song có cùng VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Ta có đường thẳng d’ song song với đường thẳng d:\(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)

Nên đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Mặt khác đường thẳng d’ đi qua \(M\left( {0;0;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d’ là: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}.\)

Chọn A.

Câu 6:

Phương pháp:

- Tìm trung điểm của MN: Trung điểm I đoạn MN có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_M} + {x_N}}}{2};\frac{{{y_M} + {y_N}}}{2};\frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}} \right)\).

- Tìm bán kính mặt cầu: R = IM

- Viết phương trình mặt cầu đường kính MN: Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có \(M\left( { - 2;0;1} \right),N\left( {0;2; - 1} \right)\) nên trung điểm của MN là \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) hay I là tâm mặt cầu đường kính MN.

Mặt khác \(R = IM = \sqrt {1 + 1 + 1}  = \sqrt 3 .\)

Khi đó phương trình măt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 3.\)

Chọn C.

Câu 7:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} ;\,\,\,\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 2} \)\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\)

Mặt khác \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}\)\(  = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} \)

Mà \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx}  = 4;\) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\) nên \(I = 2.3 - 4 = 2.\)

Chọn C.

Câu 8:

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

Cách giải:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = 4\pi .\)

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {\sin kxdx}  =  - \frac{1}{k}\cos kx + C\).

Cách giải:

Ta có \(I = 4.\int\limits_0^m {\sin 2xdx} \)\( = \left. {4.\left( { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^m\)\( =  - 2\cos 2m + 2.\)

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ \(t = 4x\).

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {4x} \right)dx} \)

Đặt \(4x = t \Rightarrow 4dx = dt\)

Khi đó \(I = \frac{1}{4}\int\limits_0^8 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{4}.\left( { - 36} \right) =  - 9\)

Chọn D.

Câu 11:

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm vào mặt phẳng đã cho.

Cách giải:

Ta thấy \(F\left( {1;1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3{\rm{z}} + 2 = 0\).

Chọn B.

Câu 12:

Phương pháp:

- Tìm bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( P \right)\), khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0;0} \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right):x + 2y + 2{\rm{z}} - 5 = 0\) nên \(R = {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 + 2.0 + 2.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2.\)

Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\) có phương trình là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.\)

Chọn C.

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của hai số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau là hai số phức có phần ảo bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2m + \left( {n + i} \right)i = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2m - 1 + ni = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\n = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 4\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn B.

Câu 14:

Phương pháp:

Áp dụng công thức viết phương trình mặt chắn đi qua 3 điểm đặc biệt có tọa độ \(\left( {a;0;0} \right),\) \(\left( {0;b;0} \right),\) \(\left( {0;0;c} \right)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(E\left( {1;0;0} \right),\) \(N\left( {0;1;0} \right),\)\(M\left( {0;0; - 1} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0.\)

Chọn C.

Câu 15:

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {4x\sqrt {1 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(u = 1 - {x^2} \Rightarrow du =  - 2xdx \Rightarrow 2xdx =  - du\)

Khi đó \(I = \int\limits_1^0 {2.\sqrt u . - du}  = 2\int\limits_0^1 {\sqrt u du} \)

Chọn B.

Câu 16:

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {{3^x}} \right|dx}  = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} \)

Chọn C.

Câu 17:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto.

Cách giải:

Ta có \(M\left( {1;1; - 2} \right),N\left( {3;0;3} \right),P\left( {2;0;0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \left( {2; - 1;5} \right)\\\overrightarrow {MP}  = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3;1; - 1} \right)\)

Chọn D.

Câu 18:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 \)\(= f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 3 - 1 = 2.\)

Chọn D.

Câu 19:

Phương pháp:

Thử tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng.

Cách giải:

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\) khi \(t =  - 2\)

Chọn C.

Câu 20:

Phương pháp:                                

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \ln 4.\int {{2^x}dx}  \\= \ln 4.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C}\\ = {2.2^x} + C\end{array}\)

Mà \(F\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 2 \)\(\Rightarrow F\left( x \right) = {2.2^x} + 2 \)\(\Rightarrow F\left( 1 \right) = 6\)

Chọn D.

Câu 21:

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT hoặc thực hiện phép chia.

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(z\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = \frac{{7 + i}}{{1 + i}} = 4 - 3i\)

Khi đó \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\)

Chọn D.

Câu 22:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ \(t = {e^{\sin 2x}}\).

Cách giải:

Ta có \(I = 4.\int\limits_0^m {{e^{\sin 2x}}\cos 2x.dx} \)\(I = \left. {\ln 3.x.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^m - \ln 3.\frac{1}{{\ln 3}}\int\limits_0^m {{3^x}dx} \)

Đặt \({e^{\sin 2x}} = t \Rightarrow dt = 2\cos 2x.{e^{\sin 2x}}dx\)

Khi đó \(I = 4\int\limits_1^{{e^{\sin 2m}}} {\frac{{dt}}{2}}  = 2\int\limits_1^{{e^{\sin 2m}}} {dt}  \)\(= \left. {2t} \right|_1^{{e^{\sin 2m}}} = 2{e^{\sin 2m}} - 2\)

Chọn D.

Câu 23:

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là \(\left( {0;y;z} \right)\).

Cách giải:

Hình chiếu của điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(M'\left( {0; - 2;3} \right).\)

Chọn A.

Câu 24:

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường \(y = 8x\ln x,y = 0,x = 1,x = e\) là

\(S = \int\limits_1^e {\left| {8x\ln x} \right|dx}  = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}  = 2{e^2} + 2\)

Chọn B.

Câu 25:

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)

Cách giải:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4\cos x,y = 0,x = 0,x = \pi \) quay quanh trục hoành là \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( {4\cos x} \right)}^2}dx}  = 8{\pi ^2}.\)

Chọn B.

Câu 26:

Phương pháp:

- Tìm các vecto pháp tuyến của 3 mặt phẳng.

- Tìm mối quan hệ giữa các vecto rồi kết luận.

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 2z + 2 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;4; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - z = 0\) có vecto pháp tuyến\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;2;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \parallel \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right)\)

Và \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  \ne \overrightarrow 0  \Rightarrow \left( Q \right);\left( R \right)\) cắt nhau.

Chọn D.

Câu 27:

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Ta có \(I = \ln 3.\int\limits_0^m {x{{.3}^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\{3^x}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \left. {\ln 3.x.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^m - \ln 3.\frac{1}{{\ln 3}}\int\limits_0^m {{3^x}dx} \)

\( \Rightarrow I = m{.3^m} - J\)

Chọn B

Câu 28:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} + 6x} \right)} dx = 2{x^4} + 3{x^2} + C} \)

Chọn D.

Câu 29:

Phương pháp:

- Tìm vecto chỉ phương của hai đường thẳng.

- Tìm mối quan hệ giữa hai vecto.

Cách giải:

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1;1} \right)\)

Đường thẳng \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1 \ne 0 \Rightarrow {d_1};{d_2}\) là hai đường thẳng cắt nhau.

Chọn D.

Câu 30:

Phương pháp:

- Đường thẳng \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là 1 VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 3} \right)\) hay \(\left( { - 3; - 6;9} \right).\)

Chọn B.

Câu 31:

Phương pháp:

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\).

Chọn B.

Câu 32:

Phương pháp:

- Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow {MN} \).

- Viết phương trình đường thẳng: - Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Ta có \(M\left( { - 1; - 1; - 2} \right),N\left( {0;0; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và đi qua \(N\left( {0;0; - 4} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 2}}.\)

Chọn D.

Câu 33:

Phương pháp:

Áp dụng công thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = \frac{c}{a}\).

Cách giải:

Phương trình \({z^2} + 5{\rm{z}} + 7 = 0\) có \({\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = \frac{c}{a} = 7 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 14\)

Chọn A.

Câu 34:

Phương pháp:

Tìm số phức liên hợp rồi suy ra điểm biểu diễn.

Cách giải:

Ta có \(z = 3 - 2i \Rightarrow \overline z  = 3 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {3;2} \right)\)

Chọn A.

Câu 35:

Phương pháp:

- Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng vuông góc với trục Oy có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)\)

Mặt phẳng đó đi qua điểm \(M\left( {2;2;3} \right)\) và có dạng \(y - 2 = 0\)

Chọn C.

Câu 36:

Phương pháp:

- Tìm \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \)

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}}\).

Cách giải:

Ta có \(M\left( {2;3; - 2} \right),N\left( { - 1;1;0} \right),P\left( {1; - 1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} } \right) = \frac{{ - 3.2 + 4 + 2}}{{\sqrt {9 + 4 + 4} .\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 0\)

Nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {NP} \) bằng \(90^\circ \).

Chọn C.

Câu 37:

Phương pháp:

- Tìm trung điểm của MN: Trung điểm I đoạn MN có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_M} + {x_N}}}{2};\frac{{{y_M} + {y_N}}}{2};\frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}} \right)\).

- Tìm \(\overrightarrow {MN} \) rồi viết phương trình mặt phẳng trung trực là mặt phẳng đi qua I và nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTPT.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN} \) và đi qua trung điểm của MN.

Ta có \(M\left( { - 3;0;3} \right),N\left( {3;0; - 3} \right)\) có trung điểm \(I\left( {0;0;0} \right)\)

Và \(\overrightarrow {MN}  = \left( {6;0; - 6} \right)\) hay \(\left( {1;0; - 1} \right)\)

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là \(\left( {1;0; - 1} \right)\) và đi qua \(I\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là \(x - z = 0\)

Chọn C.

Câu 38:

Phương pháp:

- Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)

Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)

+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z =  - 1\\ - y + z =  - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)

+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x - y =  - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)

Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Có phương trình là \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Chọn C.

Câu 39:

Phương pháp:

Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào biểu thức đề bài để lập luận.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( {z + 4i} \right)\left( {\overline z  + 6} \right)\\ = \left( {a + \left( {b + 4} \right)i} \right)\left( {a + 6 - bi} \right)\\ = a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right)\\ + \left[ {\left( {a + 6} \right)\left( {b + 4} \right) - ab} \right]i\end{array}\)

Là số thuần ảo nên \(a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 13\)

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 2} \right)\)

Chọn D.

Câu 40:

Phương pháp:

- Phân tích đa thức thành nhân tử rồi giải bất đẳng thức.

- Đồng nhất hệ số tìm m, n.

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}2{\left( {{{\log }_4}x} \right)^2} - 3{\log _4}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_4}x - 1} \right)\left( {2{{\log }_4}x - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {\log _4}x \le 1\\ \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow 2m + n = 8\)

Chọn C.

Câu 41:

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm I sao cho \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

- Tìm M là hình chiếu của I trên \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Ta có \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( { - 3;4; - 1} \right)\) và \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

Nên \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + M{B^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 3M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

Có giá trị nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I  trên \(\left( P \right)\).

Ta có \(M\left( { - 1 + 2t;2 - 2t;1 - t} \right)\) \( \in \left( P \right):2x - 2y - z - 2 = 0\) nên \(t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)\)

Khi đó \(T = 2M{A^2} + M{B^2} = 45\)

Chọn B.

Câu 42:

Phương pháp:

- Tìm \(f\left( x \right) = F'\left( x \right)\).

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản.

Cách giải:

Vì \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{4x}}\) nên:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right){e^{4x}} = F'\left( x \right) = 2x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{e^{4x}}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{4x}} - 8x.{e^{4x}}}}{{{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 8x}}{{{e^{4x}}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right){e^{4x}} = 2 - 8x\\ \Rightarrow \int {f'\left( x \right){e^{4x}}dx = \int {\left( {2 - 8x} \right)dx } } \end{array}\)\(=  - 4{x^2} + 2x + C\)

Chọn B.

Câu 43:

Phương pháp:

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Áp dụng tính chất tìm nghiệm của tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có \(y = {x^3} - m{x^2} + 3mx\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2mx + 3m \ge 0\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 9m \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le m \le 9\end{array}\)

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là 10.

Chọn A.

Câu 44:

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính lãi kép sau n năm \(T = A.{\left( {1 + r\% } \right)^n}\), trong đó: A là số tiền gửi lúc đầu; r là lãi suất hàng tháng.

Cách giải:

Sau 4 năm người đó nhận được số tiền là \({200.10^6}{\left( {1 + r\% } \right)^4}.\)

Khi đó \({200.10^6}{\left( {1 + r\% } \right)^4} = 252495392 \Leftrightarrow r = 6\% \)

Chọn A.

Câu 45:

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto.

Cách giải:

Gọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa trục Oy và vuông góc với \(\left( P \right):x + y + 2z - 2 = 0\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;1;0} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;2} \right)\end{array} \right. \\\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {2;0; - 1} \right)\)

Mà mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình có dạng \(2x - z = 0\)

Chọn B.

Câu 46:

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho \({9^x}\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x}\), đưa về phương trình bậc 2 rồi tìm m.

Cách giải:

Ta có \({25^x} - {2.15^x} + \left( {m - 4} \right){.9^x} = 0\)(1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{25}}{9}} \right)^x} - 2,{\left( {\frac{{15}}{9}} \right)^x} + \left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} + \left( {m - 4} \right) = 0\end{array}\)

Đặt \({\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = t > 0\). Ta có phương trình: \({t^2} - 2t + \left( {m - 4} \right) = 0\)(2)

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (2) có nghiệm

Hay \(\Delta ' = 1 - \left( {m - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 5 \Rightarrow \) có 5 giá trị m thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 47:

Phương pháp:

- Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số.

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 18{x^2};y = 18x\) là nghiệm của phương trình: \(18{x^2} = 18x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thj hàm số \(y = 18{x^2};\) \(y = 18x\) là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {18{x^2} - 18x} \right|d{\rm{x}}}  \\=  - \int\limits_0^1 {\left( {18{x^2} - 18x} \right)dx}  = 3\)

Chọn D.

Câu 48:

Phương pháp:

Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào đề bài để tìm nghiệm.

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi;{\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}\)

Ta có \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z - \overline z } \right| \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\)

+) \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {z - 1 - i} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow a + b = 3 \Rightarrow a = 3 - b\)

Khi đó \({\left( {3 - b} \right)^2} = 3{b^2} \Leftrightarrow 2{b^2} + 6b - 9 = 0 \Rightarrow \) có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 số phức thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 49:

Phương pháp:

- Chứng minh tam giác MNP vuông và tính độ dài đường cao kẻ từ M xuống NP.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm khoảng cách từ M đến \(\left( {NPQ} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(MP = 3;MN = 4;NP = 5 \)\(\Rightarrow N{P^2} = M{N^2} + M{P^2}\) nên tam giác MNP vuông tại M.

Kẻ \(MH \bot NP \Rightarrow \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{P^2}}} \)\(+ \frac{1}{{M{N^2}}} \Rightarrow MH = \frac{{12}}{5}\)

Mà \(MQ \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow MQ \bot NP;MH \bot NP \Rightarrow \) từ M kẻ \(MK \bot QH \Rightarrow {d_{\left( {M;\left( {NQP} \right)} \right)}} = MK\)

Ta có \(\frac{1}{{M{K^2}}} = \frac{1}{{M{Q^2}}} + \frac{1}{{M{H^2}}} \Rightarrow MK = \frac{{12\sqrt {41} }}{{41}}\)

Chọn D.

Câu 50:

Phương pháp:

- Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của đường thẳng.

- Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng.

Cách giải:

Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) nên vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là  \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\); mặt phẳng đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên có dạng là \(x + y - z = 0.\)

Chọn B.

Nguồn: Sưu tầm

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]