Đề bài
Câu 1: Cho các số phức \({z_1} = 1 + 3i\), \({z_2} = - 5 - 3i\). Tìm điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_3}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) và môđun của số phức \(w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) B. \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)
C. \(M\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) D. \(M\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)
Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(A,\,\,B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là:
A. \(x + y + z - 2 = 0\)
B. \(3x - 2y - z - 3 = 0\)
C. \(3x - 2y - z + 3 = 0\)
D. \( - x + y = 0\)
Câu 3: Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là:
A. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = 5\)
B. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)
C. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = 5\)
D. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)
Câu 4: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Giả sử \(M,\,\,N\) là các điểm biểu diễn hình học của \({z_1},\,\,{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của \(MN\) là:
A. \(\sqrt 5 \) B. \(4\)
C. \(2\sqrt 5 \) D. \(5\)
Câu 5: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có bán kính là:
A. \(\sqrt 5 \) B. \(4\)
C. \(2\sqrt 5 \) D. \(5\)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Hình chiếu của \(M\) trên trục \(Oy\) là:
A. \(Q\left( {0;2;0} \right)\)
B. \(S\left( {0;0;3} \right)\)
C. \(R\left( {1;0;0} \right)\)
D. \(P\left( {1;0;3} \right)\)
Câu 7: Tìm số phức \(z\) biết: \(\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\).
A. \(z = - 3 - 2i\)
B. \(z = 3 - 2i\)
C. \(z = 3 + 2i\)
D. \(z = - 3 + 2i\)
Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2}\) và \({z_3} = a - i\). Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:
A. \( - 3\) B. \( - 2\)
C. \(3\) D. \( - 4\)
Câu 9: Tính môđun của số phức \(z = 2 + i + {i^{2019}}\).
A. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
B. \(\left| z \right| = 2\)
C. \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {10} \)
Câu 10: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 9 = 0\). Tính \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \).
A. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 3\)
B. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 4i\)
C. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 9i\)
D. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 0\)
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC?
A. \(\sqrt 3 \) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\sqrt 2 \) D. \(\sqrt 6 \)
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 2;4;1} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;3;4} \right)\). Véc tơ \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \) có toạ độ là:
A. \(\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\)
B. \(\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)\)
D. \(\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)\)
Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\).
A. \(2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)
B. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)
C. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)
D. \(\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 3t\\z = - 2t\end{array} \right.\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là chân hình chiếu từ M lên \(\Delta \). Tính a + b + c.
A. 5 B. 7
C. -3 D. -1
Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm véc tơ chỉ phương?
(với \(t \in \mathbb{R}\)).
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z = - 4 + t\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 5t\\z = - 4 - 3t\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), \(A\left( {2;2; - 3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\)
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng (P)?
A. Q(1;-3;-4)
B. P(1;-2;0)
C. N(0;1;-2)
D. M(2;-1;1)
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \sin x\) là:
A. \(F\left( x \right) = {e^x} + \cos x + C\)
B. \(F\left( x \right) = {e^x} - \sin x + C\)
C. \(F\left( x \right) = {e^x} - \cos x + C\)
D. \(F\left( x \right) = {e^x} + \sin x + C\)
Câu 19: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) theo điều kiện \(\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z = 22 - 20i\). Tính \(S = a + b\).
A. \(S = 3\)
B. \(S = - 4\)
C. \(S = - 6\)
D. \(S = 2\)
Câu 20: Chọn khẳng định đúng?
A. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C\)
B. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C\)
C. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2x + 1}} + C\)
D. \(\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Câu 21: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) và \(F\left( 1 \right) = 1\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x \)
C. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x - \frac{5}{3}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{1}{3}\)
Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\).
A. \(\overline z = 1 - i\)
B. \(\overline z = 5 + i\)
C. \(\overline z = 5 - i\) D. \(\overline z = 1 + i\)
Câu 23: Cho số phức \({z_1} = 2 + 3i\), \({z_2} = - 4 - 5i\). Tính \(z = {z_1} + {z_2}\).
A. \(z = 2 + 2i\)
B. \(z = - 2 + 2i\)
C. \(z = 2 - 2i\)
D. \(z = - 2 - 2i\)
Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;3;2} \right)\)
B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6;2;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6;2} \right)\)
D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;3;6} \right)\)
Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\)
B. \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)\)
C. \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \)
D. \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \)
Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức
A. \(z = - 1 + 3i\)
B. \(z = - 3 + i\)
C. \(z = 1 - 3i\)
D. \(z = 3 - i\)
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow k - \overrightarrow i \). Tọa độ của điểm A là
A. \(A\left( {3;0; - 1} \right)\)
B. \(A\left( { - 1;0;3} \right)\)
C. \(A\left( { - 1;3;0} \right)\)
D. \(A\left( {3; - 1;0} \right)\)
Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng
(Oyz)?
A. \(x = 0\)
B. \(y + z = 0\)
C. \(x = y + z\)
D. \(y - z = 0\)
Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^5} - {x^3}\) và trục hoành:
A. \(S = \frac{{13}}{6}\)
B. \(S = \frac{7}{6}\)
C. \(S = \frac{1}{6}\)
D. \(S = \frac{{17}}{6}\)
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z + 5 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
A. \(M\left( { - 1;0;4} \right)\)
B. \(M\left( {0;0;5} \right)\)
C. \(M\left( { - 5; - 2;2} \right)\)
D. \(M\left( { - 3; - 1;3} \right)\)
Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|\) là đường thẳng nào?
A. \(4x + 2y - 1 = 0\)
B. \(4x - 2y + 1 = 0\)
C. \(4x - 2y - 1 = 0\)
D. \(4x - 6y - 1 = 0\)
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0\). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\)
C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) . Tìm m để hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau
A. \(m = 1\)
B. Không tồn tại m
C. \(m = - 2\)
D. \(m = 2\)
Câu 34: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \frac{{ - 1}}{m} + n\ln 2\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = m + n\).
A. \(S = 1\)
B. \(S = 4\)
C. \(S = - 1\)
D. \(S = - 5\)
Câu 35: Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 1\). Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \).
A. \(2025\) B. \(2019\)
C. \(2021\) D. \(2027\)
Câu 36: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} \).
A. \(I = e + 1\)
B. \(I = e + 2\)
C. \(I = e + 3\)
D. \(I = e - 1\)
Câu 37: Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là:
A. \(2\) B. \(3\)
C. \( - 3\) D. \( - 3i\)
Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.
Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
A. \( - 1 + 2i\)
B. \( - \frac{1}{2} + 2i\)
C. \(2 - i\)
D. \(2 - \frac{1}{2}i\)
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}\). Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?
A. \(\left( {3;6;8} \right)\)
B. \(\left( {1; - 4; - 5} \right)\)
C. \(\left( { - 1;2;3} \right)\)
D. \(\left( {0;6;8} \right)\)
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y - 2z - 9 = 0\) và \(\left( Q \right):\,4x - 2y - 4z - 6 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng
A. \(0\) B. \(2\)
C. \(1\) D. \(3\)
Câu 41: Cho tích phân \(\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^2}f\left( {{x^3} + 1} \right)dx} \).
A. \(I = 3\) B. \(I = 2\)
C. \(I = 8\) D. \(I = 4\)
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và
mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 17 = 0\).
A. \(M\left( {0;0; - 3} \right)\)
B. \(M\left( {0;0;3} \right)\)
C. \(M\left( {0;0; - 4} \right)\)
D. \(M\left( {0;0;4} \right)\)
Câu 43: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} \) và đặt \(u = {x^2},\,\,dv = \cos xdx\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
B. \(I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
C. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
D. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \)
Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B\left( {0;3;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. \(\left( {2;4; - 2} \right)\)
B. \(\left( { - 2;2;4} \right)\)
C. \(\left( { - 1;1;2} \right)\)
D. \(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
Câu 45: Cho số phức \(z = 1 - 2i\). Tính \(\left| z \right|\).
A. \(\left| z \right| = 5\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
C. \(\left| z \right| = 3\)
D. \(\left| z \right| = 2\)
Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = 0\), \(x = 1\), \(y = 0\) và \(y = \sqrt {2x + 1} \). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:
A. \(V = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
D. \(V = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)
Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\,\,\left( {m/s} \right)\) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:
A. \(\frac{{4000}}{3}\,\,\left( m \right)\)
B. \(500\,\,\left( m \right)\)
C. \(\frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)\)
D. \(2000\,\,\left( m \right)\)
Câu 48: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({f^2}\left( 1 \right)\) bằng:
A. \(8\) B. \(\frac{5}{2}\)
C. \(10\) D. \(4\)
Câu 49: Cho đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = t\\z = 3\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t'\\z = - t'\end{array} \right.\,\,\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là:
A. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\)
B. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
C. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
D. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\)
Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{8}\), \(y = - x + 6\). Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung
A. \(S = \frac{{1075}}{{192}}\)
B. \(S = \frac{{135}}{{64}}\)
C. \(S = \frac{{185}}{{24}}\)
D. \(S = \frac{{335}}{{96}}\)
Lời giải chi tiết
| 1. A | 2. B | 3. B | 4. C | 5. A |
| 6. A | 7. B | 8. A | 9. B | 10. D |
| 11. C | 12. A | 13. D | 14. D | 15. D |
| 16. B | 17. A | 18. C | 19. B | 20. A |
| 21. D | 22. B | 23. D | 24. A | 25. D |
| 26. D | 27. B | 28. A | 29. C | 30. A |
| 31. C | 32. C | 33. B | 34. A | 35. D |
| 36. A | 37. C | 38. B | 39. D | 40. B |
| 41. B | 42. B | 43. C | 44. C | 45. B |
| 46. C | 47. C | 48. A | 49. D | 50. C |
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
- Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow \) Số phức \({z_3}\).
- Tính \(w\) và tính \(\left| w \right|\).
- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.
Cách giải:
Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow {z_3} = 2a - 1 + ai\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\\w = 3\left( {2a - 1 + ai} \right) - \left( { - 5 - 3i} \right) - 2\left( {1 + 3i} \right)\\w = \left( {6a - 3 + 5 - 2} \right) + \left( {3a + 3 - 6} \right)i\\w = 6a + \left( {3a - 3} \right)i\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {3a - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{a^2} - 18a + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - \frac{2}{5}a} \right) + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{5} + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{9}{5} + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{{\left( {a - \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{{36}}{5}} \\ \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{{36}}{5}} = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \({\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\).
Chọn A.
Câu 2 (VD)
Phương pháp:
- \(\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\).
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Cách giải:
Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:
\(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0\).
Chọn B.
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Mặt cầu \(\left( S \right)\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > d\).
Cách giải:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 9} = \sqrt 5 \).
Chọn B.
Câu 4 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình bậc hai tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).
- Tìm các điểm \(M,\,\,N\). Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).
- Tính độ dài đoạn thẳng
\(MN\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} \)
Cách giải:
Ta có: \({z^2} - 4z + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right)\) và \(N\left( {2; - \sqrt 5 } \right)\).
Vậy \(MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)\( = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \)
Chọn C.
Câu 5 (TH)
Phương pháp:
- Xác định tâm và mặt cầu \(\left( S \right)\):
Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > d\).
- Tính \(d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right)\).
- Áp dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Cách giải:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} \).
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\), áp dụng định lí Pytago ta có:
\({R^2} = {r^2} + {d^2}\)\( \Leftrightarrow {r^2} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \) \( = \sqrt {14 - 9} = \sqrt 5 \)
Chọn A.
Câu 6 (NB)
Phương pháp:
Hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên \(Oy\) là \(M'\left( {0;b;0} \right)\).
Cách giải:
Hình chiếu của \(M\left( {1;2;3} \right)\) trên trục \(Oy\) là: \(Q\left( {0;2;0} \right)\).
Chọn A.
Câu 7 (NB)
Phương pháp:
Thực hiện phép chia số phức tìm \(z\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}\)
Chọn B.
Câu 8 (TH)
Phương pháp:
- Tìm các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\).
- Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\).
Cách giải:
Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i\) và \({z_3} = a - i\) nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {a; - 3} \right)\).
Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\).
\( \Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - 3\)
Chọn A.
Câu 9 (TH)
Phương pháp:
- Biến đổi \({i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\). Sử dụng \({i^2} = - 1\).
- Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}\)
Chọn B.
Câu 10 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).
- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z = a - bi\).
Cách giải:
Ta có:
\({z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} = - 3i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}} = - 3i\\\overline {{z_2}} = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 0\).
Chọn D.
Câu 11 (TH)
Phương pháp:
- Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
- Sử dụng công thức: \(d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\).
Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\).
Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: \(d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \)
Chọn C.
Câu 12 (NB)
Phương pháp:
Tìm vectơ \(\overrightarrow v \) và suy ra tọa độ.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \\\overrightarrow v = 2\left( {1;2;3} \right) - 3\left( { - 2;4;1} \right) + 5\left( { - 1;3;4} \right)\\\overrightarrow v = \left( {2 + 6 - 5;4 - 12 + 15;6 - 3 + 20} \right)\\\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\end{array}\)
Chọn A.
Câu 13 (TH)
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu.
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{1}{x} + C\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\end{array}\)
Chọn D.
Câu 14 (TH)
Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \(\Delta \) theo tham số t.
- \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\) với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).
Cách giải:
Vì H là hình chiếu của M lên \(\Delta \) nên \(H \in \Delta \), gọi \(H\left( {1 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {5 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Vì \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1.\left( {5 - t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 5 + t - 6 + 9t + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{14}}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{{14}};\frac{5}{{14}};\frac{{ - 22}}{{14}}} \right)\\ \Rightarrow a = \frac{3}{{14}},\,\,b = \frac{5}{{14}},\,\,c = - \frac{{22}}{{14}}\end{array}\)
Vậy \(a + b + c = - 1\).
Chọn D.
Câu 15 (NB)
Phương pháp:
- Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).
- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là VTCP của đường thẳng trên.
Cách giải:
Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 4} \right)\).
Chọn D.
Câu 16 (TH) – Phương trình mặt cầu
Phương pháp:
- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có bán kính:
\(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \)
- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Cách giải:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có bán kính \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), bán kính R = 3 có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Chọn B.
Câu 17 (NB)
Phương pháp:
Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.
Cách giải:
Ta có: 2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0 nên điểm Q(1;-3;-4) thuộc mặt phẳng (P).
Chọn A.
Câu 18 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\), \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {{e^x} + \sin x} \right)dx} \\ = {e^x} - \cos x + C\end{array}\).
Chọn C.
Câu 19 (TH)
Phương pháp:
- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).
- Thay vào biểu thức tìm \(a,\,\,b\).
Cách giải:
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - 7i\left( {a - bi} \right) = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - 3ai + 3b - 7ai - 7b = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a - 4b + \left( {2b - 10a} \right)i = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4b = 22\\2b - 10a = - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 5i\end{array}\)
Vậy \(a + b = 1 + \left( { - 5} \right) = - 4\).
Chọn B.
Câu 20 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).
Cách giải:
\(\int {{3^{2x}}dx} = \int {{9^x}dx} \)\( = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C\)
Chọn A.
Câu 21 (TH)
Phương pháp:
- Viết \(f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
- Thay \(x = 1\), tìm C và suy ra \(F\left( x \right)\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\\ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{1}{3}\).
Chọn D.
Câu 22 (TH)
Phương pháp:
- Nhân khai triển số phức \(z\).
- Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\\z = 3 + 2i - 3i + 2\\z = 5 - i\\ \Rightarrow \overline z = 5 + i\end{array}\)
Chọn B.
Câu 23 (NB)
Phương pháp:
Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\), \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) \( \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}z = {z_1} + {z_2}\\z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( { - 4 - 5i} \right)\\z = - 2 - 2i\end{array}\)
Chọn D.
Câu 24 (NB)
Phương pháp:
- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).
- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) đều là VTPT của mặt phẳng trên.
Cách giải:
Ta có: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\), mặt phẳng có 1 VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;3;2} \right)\).
Chọn A.
Câu 25 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của tích phân:
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\)
\(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)\)
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \)
Cách giải:
Dễ thấy mệnh đề \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \) sai.
Chọn D.
Câu 26 (NB)
Phương pháp:
Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
Cách giải:
Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \(z = 3 - i\).
Chọn D.
Câu 27 (NB)
Phương pháp:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) thì tọa độ của điểm A là \(A\left( {x;y;z} \right)\).
Cách giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow k - \overrightarrow i \). Tọa độ của điểm A là \(A\left( { - 1;0;3} \right)\).
Chọn B.
Câu 28 (NB)
Phương pháp:
Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là \(x = 0\).
Cách giải:
Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là \(x = 0\).
Chọn A.
Câu 29 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm.
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^5} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\) .
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right|\\ = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\end{array}\)
Chọn C.
Câu 30 (TH)
Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in d\) theo ẩn \(t\).
- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(t\).
Cách giải:
Vì \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M \in d,\,\,M \in \left( P \right)\).
\(\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 1 + t;3 + t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow - 3 + 2t + 2\left( { - 1 + t} \right) - \left( {3 + t} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)
Vậy \(M\left( { - 1;0;4} \right)\).
Chọn A.
Câu 31 (VD)
Phương pháp:
- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\).
- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).
Cách giải:
Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 \\= {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|\) là đường thẳng \(4x - 2y - 1 = 0\).
Chọn C.
Câu 32 (TH)
Phương pháp:
- Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính \(R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\).
- Khoảng cách từ \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Cách giải:
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính \(R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( {2;1;1} \right)\), bán kính R = 2 có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
Chọn C.
Câu 33 (TH)
Phương pháp:
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0\) song song khi và chỉ khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\).
Cách giải:
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi
\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 34 (VD)
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.
- Đồng nhất hệ số tìm m, n và tính S.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - \frac{1}{2} - \ln 2\\ \Rightarrow m = 2,\,\,n = - 1.\end{array}\)
Vậy \(S = m + n = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.\)
Chọn A.
Câu 35 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân:
+) \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \\I = 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + 2019\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \\I = 4.2 + 2019.1\\I = 2027\end{array}\)
Chọn D.
Câu 36 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\), \(\int {dx} = x + C\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\, = {e^1} + 2 - {e^0} - 0 = e + 1.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 37 (NB)
Phương pháp:
Phần ảo của số phức \(z = a + bi\) là \(b\).
Cách giải:
Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là \( - 3\).
Chọn C.
Câu 38 (TH)
Phương pháp:
- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).
- Số phức được biểu diễn bởi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) là \(z = a + bi\).
Cách giải:
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\).
Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\).
Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức \( - \frac{1}{2} + 2i\).
Chọn B.
Câu 39 (NB)
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.
Cách giải:
Thay tọa độ điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).
Vậy điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) thuộc đường thẳng d.
Chọn D.
Câu 40 (TH)
Phương pháp:
- Nhận xét (P) // (Q).
- \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)\) với \(M \in \left( P \right)\) bất kì.
- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là
\(d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Cách giải:
Vì \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}}\) nên \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).
Xét \(\left( P \right)\), cho \(x = z = 0 \Rightarrow y = - 9\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)\)
Vậy \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\)
Chọn B.
Câu 41 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = {x^3} + 1\).
Cách giải:
Đặt \(t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx\)\( \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 9\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(I = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{1}{3}.6 = 2\).
Chọn B.
Câu 42 (VD)
Phương pháp:
- Gọi \(M\left( {0;0;m} \right) \in Oz\).
- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\).
- Sử dụng các công thức
\(MA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_M}} \right)}^2}} \)
- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là
\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Cách giải:
Gọi \(M\left( {0;0;m} \right) \in Oz\).
Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} \) .
\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\)
Vì M cách đều điểm A và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}\)
Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\).
Chọn B.
Câu 43 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Cách giải:
\(I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} \).
Chọn C.
Câu 44 (NB)
Phương pháp:
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
Cách giải:
Cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B\left( {0;3;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \(\left( { - 1;1;2} \right)\).
Chọn C.
Câu 45 (NB)
Phương pháp:
Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Cách giải:
\(\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Chọn B.
Câu 46 (NB)
Phương pháp:
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Cách giải:
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \).
Chọn C.
Câu 47 (TH)
Phương pháp:
- Tính thời điểm \(t\) khi vận tốc đạt 200 m/s.
- Sử dụng công thức \(s = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \).
Cách giải:
Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200 m/s là: \({t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow t = 10\,\,\left( s \right)\).
Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng từ thời điểm \(t = 0\,\,\left( s \right)\) tới thời điểm \(t = 10\,\,\left( s \right)\) là:
\(s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dx} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} \)\( = \frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)\)
Chọn C.
Câu 48 (VDC)
Phương pháp:
- Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).
- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'\\ = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\ = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}\)
Do đó: \(\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}\)
Thay \(x = 0\) ta có: \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)
Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}\)
Thay \(x = 0\) ta có: \(\frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}\)
Vậy \({f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8\).
Chọn A.
Câu 49 (VDC)
Phương pháp:
- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là đường kính.
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).
- Tham số hóa tọa độ điểm A, B. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\) với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là VTCP của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).
- Viết phương trình mặt cầu.
Cách giải:
Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1; - 1} \right)\) lần lượt là 1 VTCP của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\), với \(A\left( {4 - 2t;t;3} \right) \in {d_1}\), \(B\left( {1;t'; - t'} \right) \in {d_2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3 + 2t;\,\,t' - t;\,\, - t' - 3} \right)\).
Vì AB là đoạn vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2t - 3} \right).\left( { - 2} \right) + t' - t = 0\\t' - t + t' + 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nhận AB là đường kính.
\( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ \(I\left( {\frac{3}{2};0;2} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + 1} = \frac{3}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
Chọn D.
Câu 50 (VDC)
Phương pháp:
- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Cách giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} = - x + 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\frac{{{x^2}}}{8} = - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} \)\( + \int\limits_{\frac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} \) \( = \frac{{185}}{{24}}\)
Chọn C.
Nguồn: Sưu tầm
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian