Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THPT Lý Thái Tổ Bắc Ninh

Câu 1: Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2020}}.{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}}\) được kết quả bằng

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(49 + 20\sqrt 6 \).

D. \(49 - 20\sqrt 6 \).

Câu 2: Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(B\) là

A. \(V = Bh\).

B. \(V = \frac{1}{4}Bh\).

C. \(V = \frac{1}{3}Bh\).

D. \(V = \frac{1}{2}Bh\).

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {3x + 1} \right)\).

A. \(y' = \frac{1}{{\left( {3x + 1} \right)\ln 2}}\)

B. \(y' = \frac{3}{{3x + 1}}\)

C. \(y' = \frac{1}{{3x + 1}}\)

D. \(y' = \frac{3}{{\left( {3x + 1} \right)\ln 2}}\)

Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {1 - x} \right) = 2\).

A. \(x =  - 3\).           B. \(x =  - 4\).

C. \(x = 3\).               D. \(x = 5\).

Câu 5: Số phức có phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \( - 4\) là

A. \(3 + 4i\).              B. \(3 - 4i\).

C. \(4 - 3i\).              D. \(4 + 3i\).

Câu 6: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a > 0,b < 0,c < 0\).

B. \(a < 0,b < 0,c < 0\).

C. \(a < 0,b > 0,c < 0\).

D. \(a > 0,b < 0,c > 0\)

Câu 7: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x =  - 1,x = 2\) (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

C. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

D. \(S =  - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Câu 8: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 4} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. \(6\).                    B. \(1\).

C. \(3\).                    D. \(2\).

Câu 9: Cho khối lập phương có cạnh bằng 4. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

A. \(64\).                  B. \(12\).

C. \(16\).                  D. \(4\).

Câu 10: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng

A. \(\left( { - 1;0} \right)\).                         B. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

C. \(\left( {1;4} \right)\).                            D. \(\left( {0;1} \right)\).

Câu 11: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z - 16 = 0\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là

A. \(5\)                     B. \(4\)

C. \(2\sqrt 5 \)           D. \(\sqrt {52} \)

Câu 12: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, biết \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(2{a^3}\).           B. \({a^3}\sqrt 3 \).   C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).       D. \(6{a^3}\).

Câu 13: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. \(y = {x^3} + 3x + 1\).

B. \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + x + 1\).

C. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).

D. \(y = {x^3} - 3x + 1\).

Câu 14: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(2{a^3}\), đáy \(ABCD\) là hình thang với  đáy lớn là \(AB\) và \(AB = 3CD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SA\), \(N\) là điểm thuộc cạnh \(CB\) sao cho \(BN = 3NC\). Mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) cắt cạnh \(SB\) tại \(I\). Tính thể tích khối chóp \(A.MDNI\).

A. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\).                        B. \(\frac{{5{a^3}}}{8}\).

C. \(\frac{{10{a^3}}}{{12}}\).                 D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\).

Câu 15: Cho ba số dương và số thực . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. \({\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).

B. \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

C. \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\).

D. \({\log _a}{b^\alpha } = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).

Câu 16: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\) có mấy đường tiệm cận [2D1-4.7-2]

A. \(0\).                    B. \(3\).

C. \(1\).                    D. \(2\).

Câu 17: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)có hệ số góc nhỏ nhất là

A. \(y =  - x\).

B. \(y =  - 2x + 3\).

C. \(y =  - 2x + 1\).

D. \(y = x\).

Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) >  - 1\) là:

A. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

C. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

D. \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\).

Câu 19: Cho hàm số \(y = {x^3} + 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm số giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục hoành.

A. \(2\)                     B. 3

C. 0                          D. \(1\)

Câu 20: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right)\)và \(B\left( { - 1;0;3} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) là

A. \( - x + y + z - 6 = 0\).

B. \(x - y - z + 4 = 0\).

C. \(x - y - z + 1 = 0\).

D. \(x - y - z - 2 = 0\).

Câu 21: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d\)

A. \(\left( {5;1; - 4} \right)\).

B. \(\left( { - 1; - 1;1} \right)\).

C. \(\left( {3;5; - 3} \right)\).

D. \(\left( {1;2;2} \right)\).

Câu 22: Cho \(x,y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(x + 3y + \left( {2x - y} \right)i = 13 + 5i\). Giá trị của biểu thức \({x^2} - {y^2}\) bằng

A. \(10\)                   B. \(7\)

C. \(25\)                   D. \(5\)

Câu 23: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình : \(2x - 3y + z + 4 = 0\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

A. \(\left( { - 2;3;4} \right)\).

B. \(\left( {2; - 3;4} \right)\).

C. \(\left( {2; - 3;0} \right)\).

D. \(\left( {2; - 3;1} \right)\).

Câu 24: Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SC\). Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNP}}}}\) bằng

A. \(2\).                    B. \(8\).

C. \(12\).                  D. \(3\).

Câu 25: Cho tứ diện \(SABC\)có \(SA,\,SB,\,SC\) đôi một vuông góc. Biết \(SA = a,SB = a;SC = 2a\). Tính khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

A. \(\frac{{2a}}{3}\).                               B. \(\frac{a}{2}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).                       D. \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Câu 26: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4x - \cos x\)là:

A. \(4 + \sin x + C\).

B. \(2{x^2} - \sin x + C\).

C. \(2{x^2} + \sin x + C\).

D. \(4 - \sin x + C\).

Câu 27: Tích các nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 5x - 1}} = \frac{1}{2}\) là

A. \(2\).                    B. \(0\).

C. \( - 2\).                 D. \(\frac{5}{2}\).

Câu 28: Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm \(M\) như hình dưới

A. \((1 + i)(2 - i)\)

B. \((1 + i)(2 - 3i)\)

C. \(\frac{{3 - 2i}}{i}\)

D. \(\frac{i}{{2 + 3i}}\)

Câu 29: Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3; - 2;1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {0; - 2;1} \right)\).

B. \(\left( {0;0;1} \right)\).

C. \(\left( {3;0;1} \right)\).

D. \(\left( {3; - 2;0} \right)\).

Câu 30: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. \(x =  - 2\)

B. \(x = 0\).

C. \(x =  - 1\).

D. \(x = 3\).

Câu 31: Cho \({z_1},{\rm{ }}{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 4 = 0.\) Giá trị của biểu thức \(3\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. \(2\sqrt 3 .\)         B. \(6.\)

C. \(4\sqrt 3 .\)          D. \(4.\)

Câu 32: Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x - 2;y = 0;x =  - 3;x = 4\). Thể tích của khối tròn xoay khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Ox\) bằng

A. \(\frac{{21\pi }}{2}\).                          B. \(\frac{{29\pi }}{2}\).

C. \(\frac{{133\pi }}{3}\).                        D. \(7\pi \).

Câu 33: Cho phương trình \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x - m} \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 20\,;\,20} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. \(20\).                  B. \(19\).

C. \(9\).                    D. \(21\).

Câu 34: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;3} \right)\) và vuông góc với cả hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) có phương trình là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 12 + t\\y = 6 + t\\z = 3t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Câu 35: Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 7x\) trên đoạn \(\left[ {0;{\mkern 1mu} 4} \right]\).

A. \(M = 68\)

B. \(M = 13\)

C. \(M = 70\)

D. \(M =  - 4\)

Câu 36: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

A. \(y = {x^3} + 3x\).

B. \(y =  - {x^2} + x\).

C. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 4}}\).

D. \(y = \tan x\).

Câu 37: Cho \(\int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{\sqrt {3 + \ln x} }}{x}{\rm{d}}x}  = \frac{{a - b\sqrt 3 }}{3}\) với \(a,b\) là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a - 2b = 12\).

B. \(a - b = 10\).

C. \(ab = 24\).

D. \(a + b = 10\).

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng \(\left( P \right):\, - x + y + 3z - 2 = 0\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\) là

A. \(x - y + 3z - 6 = 0\).

B. \( - x + y - 3z = 0\)

C. \( - x + y + 3z = 0\)

D. \( - x - y + 3z = 0\)

Câu 39: Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x - 2y + 3z - 4 = 0\) có phương trình là

A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

B. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\).

C. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 5}}{3}\).

D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

Câu 40: Số phức liên hợp của số phức \(z =  - 1 + 2i\) là

A. \(2 + i\).                B. \(1 + 2i\).

C. \( - 1 - 2i\).           D. \(1 - 2i\).

Câu 41: Hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(3\)                     B. \(1\)

C. \(2\)                     D. \(0\)

Câu 42: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z\left( {1 - 2i} \right) + \overline z .i = 15 + i\). Tìm mô đun của số phức \(z\).

A. \(\left| z \right| = 2\sqrt 5 \).                   B. \(\left| z \right| = 5\).

C. \(\left| z \right| = 2\sqrt 3 \).                   D. \(\left| z \right| = 4\).

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y =  - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

A. \(7\).                    B. \(6\).

C. \(4\).                    D. \(5\).

Câu 44: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 2\sin x + m\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {0\,;\,\pi } \right)\). Tính tổng các giá trị của \(S\).

A. \( - 5\)                  B. \( - 6\).

C. 10.                       D. \( - 3\).

Câu 45: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 1\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x - 1} \right)dx}  = 6\).Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(7\).                    B. \(5\).

C. \(13\).                  D. \(4\).

Câu 46: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây :

Số nghiệm thực của phương trình \(4\left| {f\left( x \right)} \right| - 5 = 0\) là

A. \(8\).                    B. \(4\).

C. \(7\).                    D. \(6\).

Câu 47: Xét tất cả các số dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _5}a = {\log _{125}}(ab)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a = {b^2}\).       B. \({a^3} = b\).

C. \(a = b\).               D. \({a^2} = b\).

Câu 48: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\) là

A. \(D = \left( { - \infty \,;\,\frac{1}{2}} \right)\).

B. \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

C. \(D = \left( {\frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

D. \(D = \left( { - \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

Câu 49: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh \(S\)và đáy là hình tròn nội tiếp \(ABCD\) là

A. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{6}\)      B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}\)

C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{8}\)      D. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {15} }}{4}\)

Câu 50: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \cos x\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Giá trị \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(0\).                    B. \(\pi \).

C. \(2\).       D. \(2 + \pi \).

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn [hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng \({a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(P = {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2020}}.{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}}\) \( = {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^2}.{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2018}}.{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}}\)

\( = {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^2}.{\left[ {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}}\)

\( = {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^2} = 49 - 20\sqrt 6 \)

Đáp án D.

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn giải:

Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(B\) là \(V = Bh\)

Đáp án A.

Câu 3:

Phương pháp:

Sử dụng \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(y' = \left( {{{\log }_2}\left( {3x + 1} \right)} \right)'\) \( = \frac{3}{{\left( {3x + 1} \right)\ln 2}}\)

Đáp án D.

Câu 4:

Phương pháp:

Sử dụng \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \({\log _2}\left( {1 - x} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow 1 - x = {2^2}\)\( \Leftrightarrow x =  - 3\)

Đáp án A.

Câu 5:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực \(a\) và phần ảo \(b\)

Hướng dẫn giải:

Số phức cần tìm là \(z = 3 - 4i.\)

Đáp án B.

Câu 6:

Phương pháp:

Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số để xác định dấu của hệ số

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty \) nên \(a < 0\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên \(ab < 0 \Rightarrow b > 0\) (vì \(a < 0\))

Vậy \(a < 0,b > 0,c < 0\)

Đáp án C.

Câu 7:

Phương pháp:

Từ đồ thị hàm số xác định công thức tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường thẳng \(x = a;x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị ta có:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \end{array}\)

\( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Đáp án A.

Câu 8:

Phương pháp:

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và chọn ra các nghiệm bội lẻ

Số nghiệm bội lẻ đó là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) 

Hướng dẫn giải:

Ta có \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 4} \right)^3} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Các nghiệm \(x = 0;x =  - 4\) là các nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho có 2 cực trị.

Đáp án D.

Câu 9:

Phương pháp:

Khối lập phương cạnh \(a\) có thể tích \(V = {a^3}\)

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối lập phương là \(V = {4^3} = 64\) 

Đáp án A.

Câu 10:

Phương pháp:

Sử dụng \(\left( {f\left( u \right)} \right)' = u'.f'\left( u \right)\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(y' = \left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)'\) \( = 2x.f'\left( {{x^2}} \right)\)

Xét \(y' < 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( {{x^2}} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2}} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2}} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l} - 1 < {x^2} < 1\\{x^2} > 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < {x^2} < 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\x <  - 2\end{array} \right.\\1 < x < 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\)

Đáp án A.

Câu 11:

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Hướng dẫn giải:

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2} - \left( { - 16} \right)}  = 5\)

Đáp án A.

Câu 12:

Phương pháp:

Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao hình chóp

Hướng dẫn giải: 

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và \(AC\), hay \(\widehat {SCA} = {60^0}\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) theo định lý Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2a\)

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) ta có: \(SA = AC.\tan \widehat {SCA}\) \( = 2a.\tan {60^0} = 2a\sqrt 3 \)

Thể tích khối chóp:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\) \( = \frac{1}{3}2a\sqrt 3 .a.a\sqrt 3  = 2{a^3}\)

Đáp án A.

Câu 13:

Phương pháp:

Xác định một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ điểm đó vào các hàm số ở đáp án để chọn đáp án đúng

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị của hàm số đa thức bậc ba nên loại C

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty  \Rightarrow \) loại B

Lại có điểm có tọa độ \(\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị nên chỉ có hàm số  \(y = {x^3} - 3x + 1\) thỏa mãn.

Đáp án D.

Câu 14:

Phương pháp:

Gọi E là giao điểm của DN và AB.

Từ đó dựng được I là giao điểm của ME và SB.

Sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện và tir lệ thể tích các khối đa diện.

Công thức tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Hướng dẫn giải: 

Trong (ABCD), gọi E là giao điểm của DN và AB.

Trong (SAB), gọi I là giao điểm của ME và AB.

Khi đó I chính là giao điểm của SB với (DMN).

\(CD//AE \Rightarrow CD//BE\) \( \Rightarrow \frac{{CD}}{{BE}} = \frac{{CN}}{{BN}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BE}} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow BE = AB\) hay B là trung điểm của AE.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAB với bộ ba điểm thẳng hàng là M, I, E ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{IS}} = 1\\ \Rightarrow 1.2.\frac{{IB}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{IB}}{{IS}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang ABCD ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).h\\ = \frac{1}{2}\left( {3CD + CD} \right).h\\ = \frac{1}{2}.4CD.h\\ = 2CD.h\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABN}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {N,AB} \right)\\ = \frac{1}{2}.3CD.\frac{3}{4}h = \frac{9}{8}CD.h\\{S_{CDN}} = \frac{1}{2}CD.d\left( {N,CD} \right)\\ = \frac{1}{2}CD.\frac{1}{4}h = \frac{1}{8}CD.h\\ \Rightarrow {S_{ADN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABN}} - {S_{CDN}}\\ = 2CD.h - \frac{9}{8}CD.h - \frac{1}{8}CD.h\\ = \frac{3}{4}CD.h\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{3}{4}CD.h}}{{2CD.h}} = \frac{3}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{M.ADN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ADN}}.d\left( {M,\left( {ADN} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}}\\ = \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ABCD}}}}.\frac{{d\left( {M,\left( {ADN} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{3}{{16}}\\ \Rightarrow {V_{M.ADN}} = \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{{16}}.2{a^3} = \frac{3}{8}{a^3}\end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l}{S_{ABN}} = \frac{9}{8}CD.h\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{9}{8}CD.h}}{{2CD.h}} = \frac{9}{{16}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{S.ABN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ABN}}.d\left( {S,\left( {ABN} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}}\\ = \frac{{{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{9}{{16}}\\ \Rightarrow {V_{S.ABN}} = \frac{9}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{9}{{16}}.2{a^3} = \frac{9}{8}{a^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ANI}}}} = \frac{{MA}}{{SA}} = \frac{1}{2}\\\frac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ANI}}}}.\frac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow {V_{M.ANI}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABN}} = \frac{1}{3}.\frac{9}{8}{a^3} = \frac{3}{8}{a^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ADMIN}} = {V_{M.ADN}} + {V_{M.ANI}}\\ = \frac{3}{8}{a^3} + \frac{3}{8}{a^3} = \frac{3}{4}{a^3}\end{array}\)

Đáp án D.

Câu 15:

Phương pháp:

Sử dụng: \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\) nên D sai

Đáp án D.

Câu 16:

Phương pháp:

Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {x_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {x_0}\)

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \)

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 3}} = 0\)

Nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{9}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{1}{{x + 3}} =  + \infty \)

Nên \(x =  - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận.

Đáp án D.

Câu 17:

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 1\) \( = 3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 1\) \( = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\) \( = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 2 \ge  - 2\)

Ta thấy \(y'\) có GTNN là \( - 2 \Leftrightarrow x = 1\)

Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là \(k =  - 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 1\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( =  - 2\left( {x - 1} \right) - 1 =  - 2x + 1\)

Đáp án C.

Câu 18:

Phương pháp:

Sử dụng: Với \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}f\left( x \right) > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) < {a^b}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) >  - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\2x - 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}\)

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Đáp án A.

Câu 19:

Phương pháp:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} + 3x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 3 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy số giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục hoành là 1.

Đáp án D.

Câu 20:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Trung điểm của AB là \(M\left( {0; - 1;2} \right)\)

Mặt phẳng cần tìm đi qua \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;2} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là: \( - 2\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - 2x + 2y + 2z - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow  - x + y + z + 1 = 0\)

Đáp án C.

Câu 21:

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng để xác định điểm thuộc đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Thay điểm có tọa độ \(\left( {3;5; - 3} \right)\) vào phương trình đường thẳng đã cho ta được:

\(\frac{{3 - 1}}{2} = \frac{{5 - 2}}{3} = \frac{{ - 3 + 2}}{{ - 1}} = 1\) nên điểm có tọa độ \(\left( {3;5; - 3} \right)\) thuộc đường thẳng đã cho.

Đáp án C.

Câu 22:

Phương pháp:

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(x + 3y + \left( {2x - y} \right)i = 13 + 5i\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\2x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} - {y^2} = {4^2} - {3^2} = 7\)

Đáp án B.

Câu 23:

Phương pháp:

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\) \(2x - 3y + z + 4 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)\)

Đáp án D.

Câu 24:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích:

\(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}\) với \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,SB,SC\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}\)\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

Suy ra \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNP}}}} = 8\)

Đáp án B.

Câu 25:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ đỉnh \(O\) đến đáy \(\left( {ABC} \right)\) của tứ diện vuông \(OABC\) là \(h\) thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Tứ diện \(S.ABC\) vuông tại \(S\) nên khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(h\) thỏa mãn\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\) \( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}\) \( = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\)

Đáp án A.

Câu 26:

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\left( {n \ne  - 1} \right)\) và \(\int {\cos x} dx = \sin x + C\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {4x - \cos x} \right)dx} \) \( = 4.\frac{{{x^2}}}{2} - \sin x + C\) \( = 2{x^2} - \sin x + C\)

Đáp án B.

Câu 27:

Phương pháp:

Sử dụng \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\) với \(a \ne 0;a \ne 1\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({2^{2{x^2} - 5x - 1}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 5x - 1}} = {2^{ - 1}}\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 1 =  - 1\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {2x - 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Tích các nghiệm của phương trình là: \(0.\frac{5}{2} = 0\)

Đáp án B.

Câu 28:

Phương pháp:

Xác định số phức có điểm biểu diễn trên hình

Tính toán các phép tính ở mỗi đáp án để xác định đúng số phức đã tìm được

Hướng dẫn giải:

Điểm \(M\left( { - 2; - 3} \right)\) biểu diễn số phức \(z =  - 2 - 3i\)

Ta có: \(\frac{{3 - 2i}}{i} = \frac{{\left( {3 - 2i} \right)i}}{{{i^2}}}\) \( = \frac{{3i - 2{i^2}}}{{ - 1}} =  - 2 - 3i\)

Đáp án C.

Câu 29:

Phương pháp:

Hình chiếu vuông góc của \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ \(H\left( {{x_0};0;{z_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Hình vuông góc của \(M\left( {3; - 2;1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ \(\left( {3;0;1} \right)\)

Đáp án C.

Câu 30:

Phương pháp:

Quan sát bảng biến thiên để xác định điểm cực đại

Hướng dẫn giải:

Từ BBT ta có hàm số đạt cực đại tại \(x = 0.\)

Đáp án B.

Câu 31:

Phương pháp:

Giải phương trình tìm \({z_1};{z_2}\)

Từ đó tìm \(3\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|\)

Số phức \(z = a + bi\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có \({z^2} - 2z + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} =  - 3\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 3{i^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = \sqrt 3 i\\z - 1 =  - \sqrt 3 i\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 3 i\\z = 1 - \sqrt 3 i\end{array} \right.\)

Suy ra \(3\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|\)\( = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  - \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = 4\)

Đáp án D.

Câu 32:

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi \(y = f\left( x \right);y = 0;\) \(x = a;x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 3}^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} \)

\( = \pi .\left. {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 3}^4 = \frac{{133\pi }}{3}\)

Đáp án C.

Câu 33:

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \(x > m\)

Đặt \({\log _5}\left( {x - m} \right) = t \Rightarrow {5^t} = x - m\)

Ta có phương trình \({5^x} + m = t \Leftrightarrow {5^x} = t - m\)

Suy ra \({5^t} - {5^x} = x - t\) \( \Leftrightarrow {5^t} + t = {5^x} + x\)  (*)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {5^u} + u\) \( \Rightarrow f'\left( u \right) = {5^u}.\ln 5 > 0\) nên \(f\left( u \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó phương trình \((*)\) trở thành \(f\left( t \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow t = x\)

Với \(x = t\) \( \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {x - m} \right)\) \( \Leftrightarrow {5^x} = x - m\) \( \Leftrightarrow m = x - {5^x}\) (1)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x - {5^x}\) ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - {5^x}\ln 5 = 0\) \( \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{1}{{\ln 5}}\)

Ta có BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\)

Suy ra phương trình (1) có nghiệm khi \(m \le g\left( {{{\log }_5}\left( {\frac{1}{{\ln 5}}} \right)} \right)\) \( \Rightarrow m \le  - 0,917018\)

Mà \(m \in \left( { - 20;20} \right)\) và \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 19; - 18;...; - 1} \right\}\)

Hay có \(19\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án B.

Câu 34:

Phương pháp:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)  có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;3} \right)\)

Đường thẳng  \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\)  có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) \( = \left( { - 12;6;0} \right)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;3} \right)\) và vuông góc với cả hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\)  nên ta chọn 1 VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow u  = \)\(\left( { - 2;1;0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\)

Đáp án B.

Câu 35:

Phương pháp:

Tìm GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Giải pt \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\) và các điểm \({x_j}\) làm cho \(f'\left( x \right)\) không xác định

Tính \(f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\)

Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(y' = 3{x^2} + 4x - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;4} \right]\\x = \frac{{ - 7}}{3} \notin \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\)

Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\) \(y\left( 4 \right) = 68;y\left( 1 \right) =  - 4\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = 68\)

Đáp án A.

Câu 36:

Phương pháp:

Nhận xét tính chất các hàm số đã cho và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B: Hàm số bậc hai không xảy ra trường hợp đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Loại B.

Đáp án C: Hàm số có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 4} \right\}\) nên chỉ đơn điệu trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( { - 4; + \infty } \right)\).

Loại C.

Đáp án D: Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k\pi } \right)\) chứ không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Loại D.

Đáp án A.

Chú ý:

Có thể tính đạo hàm và kiểm tra \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) như sau:

Đáp án A: \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 37:

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = \sqrt {3 + \ln x} \).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(t = \sqrt {3 + \ln x} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3 + \ln x \Rightarrow 2tdt = \frac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \); \(x = e \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {3 + \ln x} }}{x}dx}  = \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {t.2tdt} \\ = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt}  = 2.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2\\ = 2\left( {\frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}}}{3}} \right)\\ = 2.\frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{3} = \frac{{16 - 6\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow a = 16,b = 6\\ \Rightarrow a - b = 10\end{array}\)

Đáp án B.

Câu 38:

Phương pháp:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \).

Công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

\(\left( P \right): - x + y + 3z - 2 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 1;1;3} \right)\) là VTPT của \(\left( P \right)\)

\(\left( \alpha  \right)//\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 1;1;3} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) nên có phương trình:

\( - 1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - x + y + 3z = 0\)

Đáp án C.

Câu 39:

Phương pháp:

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \).

Công thức viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTCP là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

Hướng dẫn giải:

\(\left( P \right):x - 2y + 3z - 4 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là VTPT của \(\left( P \right)\).

\(d \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là VTCP của đường thẳng \(d\).

\(d\) đi qua \(M\left( {1; - 2;1} \right)\) nên có phương trình \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\).

Đối chiếu các đáp án ta thấy các phương trình đều không giống pt viết được hoàn toàn.

Do đó ta đi loại đáp án.

Loại được A vì không đúng VTCP.

Thay tọa độ M vào phương trình đáp án B ta được: \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{{1 - 1}}{3}\) nên M không thuộc đt.

Loại B.

Thay tọa độ M vào phương trình đáp án C ta được: \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2 - 2}}{{ - 2}} = \frac{{1 + 5}}{3}\) nên M thuộc đt.

Chọn C.

Thay tọa độ M vào phương trình đáp án D ta được: \(\frac{{1 - 1}}{1} = \frac{{ - 2 + 2}}{{ - 2}} \ne \frac{{1 + 1}}{3}\) nên M không thuộc đt.

Loại D.

Đáp án C.

Câu 40:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Hướng dẫn giải:

Số phức liên hợp của \(z =  - 1 + 2i\) là \(\overline z  =  - 1 - 2i\).

Đáp án C.

Câu 41:

Phương pháp:

Tính \(y'\) và nhận xét tính đơn điệu của hàm số.

Từ đó suy ra số cực trị.

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{2.1 - 1.3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \in D\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) nên không có cực trị.

Đáp án D.

Câu 42:

Phương pháp:

- Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

- Tính \(\overline z \) và thay vào đẳng thức tìm \(a,b\).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Thay vào \(z\left( {1 - 2i} \right) + \overline z .i = 15 + i\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {a + bi} \right)\left( {1 - 2i} \right) + \left( {a - bi} \right)i = 15 + i\\ \Leftrightarrow a - 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i\\ \Leftrightarrow \left( {a + 3b} \right) + \left( {b - a} \right)i = 15 + i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 15\\b - a = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 3 + 4i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\end{array}\)

Đáp án B.

Câu 43:

Phương pháp:

Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Chú ý:

\(a{x^2} + bx + c \le 0\) (\(a \ne 0\)) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Có \(y' =  - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {4m + 9} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 27 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 9 \le m \le  - 3\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 4; - 3} \right\}\).

Vậy có \(\left[ {\left( { - 3} \right) - \left( { - 9} \right)} \right]:1 + 1 = 7\) giá trị cần tìm.

Đáp án A.

Câu 44:

Phương pháp:

Đặt \(t = \sin x\) và đặt điều kiện cho \(t\).

Đưa phương trình đã cho về ẩn \(t\) và tìm điều kiện để pt mới có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải:  

Đặt \(t = \sin x\).

Với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) thì \(t \in \left( {0;1} \right]\).

Khi đó ta có phương trình \(f\left( t \right) = 2t + m\).

Phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) khi và chỉ khi phương trình \(f\left( t \right) = 2t + m\) có nghiệm trong nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\) hay đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2t + m\) tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\).

Đường thẳng \(y = 2t + m\) là đường thẳng song song với đường thẳng \(y = 2t\) và đi qua điểm \(\left( {0;m} \right)\).

Ta có hình vẽ:

Quan sát hình vẽ ta thấy, với \( - 3 \le m < 1\) thì đường thẳng \(y = 2t + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại đúng 1 điểm có hoành độ thuộc \(\left( {0;1} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 =  - 6\).

Đáp án B.

Câu 45:

Phương pháp:

Từ tích phân \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x - 1} \right)dx}  = 6\) đặt \(t = 2x - 1\) suy ra tích phân theo biến \(t\).

Sử dụng các tính chất tích phân:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Với \(a < b < c\).

Hướng dẫn giải:

Xét tích phân \(I = \int\limits_1^2 {f\left( {2x - 1} \right)dx}  = 6\)

Đặt \(t = 2x - 1 \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{2}\)

Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 1;\) \(x = 2 \Rightarrow t = 3\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_1^3 {f\left( t \right).\frac{{dt}}{2}}  = 6\) \( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = 12\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 12\) (do \(\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \))

Vậy

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \\ = 1 + 12 = 13\\ \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 13\end{array}\)

Đáp án C.

Câu 46:

Phương pháp:

- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có được từ đồ thị đã cho:

+) Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần dưới qua Ox.

+) Xóa phần dưới cũ đi.

- Biến đổi phương trình đã cho về \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{5}{4}\) và suy ra số nghiệm bằng số giao điểm của đồ thị \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) với đường thẳng \(y = \frac{5}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(4\left| {f\left( x \right)} \right| - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{5}{4}\)

Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có được từ đồ thị đã cho:

+) Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần dưới qua Ox.

+) Xóa phần dưới cũ đi.

Ta được đồ thị sau:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đường thẳng \(y = \frac{5}{4}\).

Dễ thấy đường thẳng \(y = \frac{5}{4}\) cắt đồ thị trên tại \(8\) điểm phân biệt.

Vậy pt đã cho có \(8\) nghiệm.

Đáp án A.

Câu 47:

Phương pháp:

Biến đổi đưa về cùng cơ số, sử dụng các tính chất:

\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\\{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\end{array}\)

Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _5}a = {\log _{125}}\left( {ab} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}a = {\log _{{5^3}}}\left( {ab} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}a = \frac{1}{3}{\log _5}\left( {ab} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}a = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_5}a + {{\log }_5}b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}a = \frac{1}{3}{\log _5}a + \frac{1}{3}{\log _5}b\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}{\log _5}a = \frac{1}{3}{\log _5}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _5}a = {\log _5}b\\ \Leftrightarrow {\log _5}{a^2} = {\log _5}b\\ \Leftrightarrow {a^2} = b\end{array}\)

Đáp án D.

Câu 48:

Phương pháp:

Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định khi \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) > 0\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\) xác định khi \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

Vậy TXĐ: \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 49:

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón: \(S = \pi rl\) với \(r\) là bán kính đáy, \(l\) là độ dài đường sinh.

Hướng dẫn giải: 

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; E là trung điểm của CD.

Khi đó hình nón có bán kính đáy \(r = OE = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\) và chiều cao \(SO = 2a\).

Tam giác SOE vuông tại O có \(SE = \sqrt {S{O^2} + O{E^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

Diện tích xung quanh hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .OE.SE\) \( = \pi .\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}\)

Đáp án B.

Câu 50:

Phương pháp:

Tính \(f\left( x \right)\) và thay vào tính tích phân \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \cos x\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \(1 = \sin 0 + C \Leftrightarrow C = 1\)

Do đó \(f\left( x \right) = \sin x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left( {\sin x + 1} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \cos x + x} \right)} \right|_0^\pi \\ = \left( { - \cos \pi  + \pi } \right) - \left( { - \cos 0 + 0} \right)\\ = 1 + \pi  + 1 - 0 = 2 + \pi \end{array}\)

Đáp án D.

hoctot.me