Cho ∆ABC nhọn, AB<AC, các đường cao AF, BE, CG cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MH lấy điểm D sao cho MH = MD a, Tứ giác BHCD là hình gì Vì sao? b, Chứng minh: ∆ABD vuông tại B, ∆

a. Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?

Tứ giác BHCD là hình thang vuông. Lý do như sau:

- H là trực tâm của ∆ABC: Điểm H là giao điểm của các đường cao AF, BE, và CG.
- M là trung điểm của BC: Do đó, HM là đường trung trực của BC.
- MH = MD: Điểm D được chọn trên tia đối của tia MH sao cho MH = MD.

Vì MH = MD, tứ giác BHCD có hai cạnh song song là BH và CD, và hai cạnh kia là BC và HD.

- BH ⊥ BC (do BE là đường cao từ B xuống AC)
- CD ⊥ BC (do tia đối của MH là đường trung trực của BC)

Do đó, tứ giác BHCD là hình thang vuông với hai góc vuông tại B và D.

b. Chứng minh: ∆ABD vuông tại B, ∆ ACD vuông tại C

- ∆ABD vuông tại B:
- Đã biết BH ⊥ BC, do đó góc ABH = 90° (vì BE là đường cao từ B xuống AC).
- Điểm D nằm trên tia đối của tia MH, nên góc ABD cũng bằng 90° vì BH ⊥ BC và D nằm trên đường thẳng song song với BC qua M.

- ∆ACD vuông tại C:
- Đã biết CH ⊥ BC, do đó góc ACH = 90° (vì CG là đường cao từ C xuống AB).
- Điểm D nằm trên tia đối của tia MH, nên góc ACD cũng bằng 90° vì CH ⊥ BC và D nằm trên đường thẳng song song với BC qua M.

c. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh IA = IB = IC = ID

- IA = ID: Điều này rõ ràng vì I là trung điểm của AD.

- IB = IC:
- Vì ∆ABD và ∆ACD đều vuông tại B và C, và I là trung điểm của AD, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để chứng minh rằng IB = IC:
- Trong ∆ABD, AB² + BD² = AD²
- Trong ∆ACD, AC² + CD² = AD²
- Vì AB < AC, nên BD < CD. Tuy nhiên, vì I là trung điểm của AD, nên từ trung điểm của AB và AC đến I sẽ bằng nhau do tính chất của hình vuông và đường trung bình.

- IA = IB:
- Vì ∆ABD là tam giác vuông tại B, I là trung điểm của AD, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông để chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB (IB) bằng khoảng cách từ I đến AD (IA).

Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng IA = IB = IC = ID.