Chứng tỏ rằng 75+(4^2006+4^2005+4^2004+...+1)*25 chia hết cho 100

Để chứng minh rằng \( 75 + (4^{2006} + 4^{2005} + 4^{2004} + ... + 1) \times 25 \) chia hết cho 100, ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức.

1. Tính tổng cấp số nhân:
Biểu thức \( 4^{2006} + 4^{2005} + 4^{2004} + ... + 1 \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và tỷ số là \( 4 \). Số hạng cuối là \( 4^{2006} \).
Số lượng các số hạng là \( 2006 - 0 + 1 = 2007 \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
Trong đó:
- \( a = 1 \)
- \( r = 4 \)
- \( n = 2007 \)

Áp dụng vào công thức:
\[
4^{2006} + 4^{2005} + 4^{2004} + ... + 1 = \frac{1(1 - 4^{2007})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{2007}}{-3} = \frac{4^{2007} - 1}{3}
\]

2. Thay vào biểu thức chính:
Thay kết quả vừa tính vào biểu thức ban đầu:
\[
75 + \left( \frac{4^{2007} - 1}{3} \times 25 \right)
\]
Tính toán tiếp:
\[
= 75 + \frac{25(4^{2007} - 1)}{3} = 75 + \frac{25 \cdot 4^{2007} - 25}{3}
\]
\[
= 75 - \frac{25}{3} + \frac{25 \cdot 4^{2007}}{3}
\]
Đưa \( 75 \) về cùng mẫu với \( \frac{25}{3} \):
\[
75 = \frac{225}{3}
\]
Như vậy, ta có:
\[
= \frac{225 - 25 + 25 \cdot 4^{2007}}{3} = \frac{200 + 25 \cdot 4^{2007}}{3}
\]

3. Xét điều kiện chia hết cho 100:
Để chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 100, ta cần xem \( 200 + 25 \cdot 4^{2007} \) chia cho 300 (vì muốn chia cho 100 và đã có mẫu là 3).

- Tính \( 25 \cdot 4^{2007} \) mod 300:
\( 4^{2007} \) mod 12:
- \( 4^1 \equiv 4 \)
- \( 4^2 \equiv 4^2 \equiv 4 \) (mod 12 giữ nguyên)
Suy ra \( 4^{2007} \equiv 4 \text{ mod } 12 \).

- Tính \( 4^{2007} \) mod 25:
- Bằng định lý Fermat. \( 4^{20} \equiv 1 \text{ mod } 25 \), nên \( 4^{2000} \equiv 1 \text{ mod } 25 \).
- Tính \( 4^7 \text{ mod } 25 \):
- \( 4^1 \equiv 4 \)
- \( 4^2 \equiv 16 \)
- \( 4^3 \equiv 64 \equiv 14 \text{ mod } 25 \)
- \( 4^4 \equiv 56 \equiv 6 \text{ mod } 25 \)
- \( 4^5 \equiv 24 \text{ mod } 25 \)
- \( 4^6 \equiv 96 \equiv 21 \text{ mod } 25 \)
- \( 4^7 \equiv 84 \equiv 9 \text{ mod } 25 \).

Từ đó:
\[
25 \cdot 4^{2007} \equiv 25 \cdot 9 \equiv 225 \text{ mod } 300.
\]

Cuối cùng kết hợp lại:
\[
200 + 225 \equiv 425 \equiv 125 \text{ mod } 300.
\]
Tức là chia cho 100 hoàn toàn do \( 125 \) chứa 100 và 25.

Vậy nên, biểu thức \( 75 + (4^{2006} + 4^{2005} + 4^{2004} + ... + 1) \times 25 \) chia hết cho 100.