Các bạn giải bài này hộ tớ nhé

Để giải bài toán này, ta cần tính tổng \( A = 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^{2021} \).

Đầu tiên, ta nhận thấy đây là một cấp số nhân. Công thức tính tổng của một cấp số nhân có thể được sử dụng là:

\[
A = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên.
- \( r \) là công bội.
- \( n \) là số hạng.

Ở đây:
- Số hạng đầu tiên \( a = 4^2 = 16 \).
- Công bội \( r = 4 \) (bởi vì mỗi số hạng là 4 lần số hạng trước).
- Số hạng cuối cùng \( n \) từ \( 2 \) đến \( 2021 \) tức là \( 2021 - 2 + 1 = 2020 \).

Áp dụng công thức vào:

\[
A = 16 \cdot \frac{4^{2020} - 1}{4 - 1} = 16 \cdot \frac{4^{2020} - 1}{3}
\]

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem \( A \) có chia hết cho \( 21 \) hay không. Ta biết rằng \( 21 = 3 \cdot 7 \), vì vậy check từng yếu tố.

1. Chia hết cho 3:
- \( A = 16 \cdot \frac{4^{2020} - 1}{3} \).
- Để \( A \) chia hết cho 3, ta chỉ cần kiểm tra \( 4^{2020} - 1 \) chia hết cho 3.
- Lưu ý rằng \( 4 \equiv 1 \mod 3 \), do đó \( 4^{2020} \equiv 1^{2020} \equiv 1 \mod 3 \).
- Vậy \( 4^{2020} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \) => \( 4^{2020} - 1 \) chia hết cho 3.

2. Chia hết cho 7:
- Xét \( 4^{2020} \mod 7 \).
- Theo định lý nhỏ Fermat, với \( p = 7 \) thì \( 4^6 \equiv 1 \mod 7 \).
- Ta có \( 2020 \div 6 = 336 \) dư 4. Vậy \( 4^{2020} \equiv 4^4 \mod 7 \).
- Tính \( 4^2 \equiv 16 \equiv 2 \mod 7 \).
- \( 4^4 = (4^2)^2 \equiv 2^2 = 4 \mod 7 \).
- Do đó, \( 4^{2020} - 1 \equiv 4 - 1 \equiv 3 \mod 7 \). Điều này có nghĩa là \( 4^{2020} - 1 \) không chia hết cho 7.

Vì thế, \( A \) không chia hết cho 7, do đó \( A \) cũng không chia hết cho 21.

Kết luận: Tổng \( A \) không chia hết cho 21.