Các bạn giải bài này hộ tớ nhé

Để giải bài toán này, ta cần tính tổng $A=4^2+4^3+\cdots +4^{2021}$.

Đầu tiên, ta nhận thấy đây là một cấp số nhân. Công thức tính tổng của một cấp số nhân có thể được sử dụng là:

$$A=a\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

Trong đó:
- $a$ là số hạng đầu tiên.
- $r$ là công bội.
- $n$ là số hạng.

Ở đây:
- Số hạng đầu tiên $a=4^2=16$.
- Công bội $r=4$ (bởi vì mỗi số hạng là 4 lần số hạng trước).
- Số hạng cuối cùng $n$ từ $2$ đến $2021$ tức là $2021-2+1=2020$.

Áp dụng công thức vào:

$$A=16\cdot \frac{4^{2020}-1}{4-1}=16\cdot \frac{4^{2020}-1}{3}$$

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem $A$ có chia hết cho $21$ hay không. Ta biết rằng $21=3\cdot 7$, vì vậy check từng yếu tố.

1. Chia hết cho 3:
- $A=16\cdot \frac{4^{2020}-1}{3}$.
- Để $A$ chia hết cho 3, ta chỉ cần kiểm tra $4^{2020}-1$ chia hết cho 3.
- Lưu ý rằng $4\equiv 1\mathrm{mod}3$, do đó $4^{2020}\equiv 1^{2020}\equiv 1\mathrm{mod}3$.
- Vậy $4^{2020}-1\equiv 1-1\equiv 0\mathrm{mod}3$ => $4^{2020}-1$ chia hết cho 3.

2. Chia hết cho 7:
- Xét $4^{2020}\mathrm{mod}7$.
- Theo định lý nhỏ Fermat, với $p=7$ thì $4^6\equiv 1\mathrm{mod}7$.
- Ta có $2020÷6=336$ dư 4. Vậy $4^{2020}\equiv 4^4\mathrm{mod}7$.
- Tính $4^2\equiv 16\equiv 2\mathrm{mod}7$.
- $4^4=(4^2{)}^2\equiv 2^2=4\mathrm{mod}7$.
- Do đó, $4^{2020}-1\equiv 4-1\equiv 3\mathrm{mod}7$. Điều này có nghĩa là $4^{2020}-1$ không chia hết cho 7.

Vì thế, $A$ không chia hết cho 7, do đó $A$ cũng không chia hết cho 21.

Kết luận: Tổng $A$ không chia hết cho 21.