Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AI từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia by Nối M với trung điểm P của AB đường thẳng MP

a) Ta có $AP=PB$ (vì P là trung điểm AB), $BM\parallel AY$ (do By||AC và MY là đường cao trong tam giác BMY), $AY\perp AC$ nên $BM\perp AY$. Từ đó suy ra tam giác ABM vuông tại B.
Gọi $O$ là trung điểm của $AY$ thì $BO\parallel MX$ (do $MX\perp AC$ và $AY\perp AC$) và $OB=\frac12 AY$. Đồng thời, ta có $OA=\frac12 AC$. Do đó, tam giác AOB và MXC đồng dạng với tỉ số $\frac{2}{5}$. Khi đó, ta có:
$$\frac{AQ}{QH}=\frac{MC}{MB}=\frac{XC}{OB}=\frac{5}{2}$$
Mà $AQ=AM$, nên:
$$\frac{AM}{QH}=\frac{5}{2}\iff AQ=HM+MQ=\frac{5}{2}QH+MQ$$
Tuy nhiên, ta lại có:
$$HM+MQ+QB=BQ+AM=BI+AP=6+2MQ$$
Tương đương với:
$$\frac{5}{2}QH+MQ+QB=6+2MQ\iff \frac{5}{2}QH=\frac{7}{2}MQ+6-2QB$$
Mà tứ giác AQHM là hình thang nên $AQ=HM+\frac12 AH$ và $QH=\frac12 (AH-BQ)$, thay vào biểu thức trên ta được:
$$\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}(AH-BQ)=\frac{7}{2}MQ+6-2QB$$
$$\iff 5AH-5BQ=28MQ+24-8QB$$
Mà $MQ+QB=MB+1=\frac12 AB+1=\frac{11}{2}$, nên:
$$28MQ+24-8QB=28(MQ+QB)-4\cdot 11=28\cdot \frac{11}{2}-44=108$$
Do đó, ta có:
$$5AH-5BQ=108\iff AH-BQ=21.6=HM+MQ$$
Vậy tứ giác AQHM là hình thang.

b) Ta có:
$$\frac{AQ}{QH}=\frac{5}{2}\iff \frac{AM}{QH}=\frac{7}{2}$$
Mà $AQ=AM$ và $QH=\frac{1}{2}AH-\frac{1}{2}BQ$, nên:
$$\frac{AH}{BQ}=\frac{2\times AM}{AH-BQ}=\frac{2\times AM}{2\times QH}=7$$
Vậy $\frac{AI}{BI}=\frac{AH}{BQ}+1=8$, hay $AI=8BI=48$ (vì $BI=6$).

c) Vì $P$ là trung điểm $AB$, ta có $IP\parallel AC$ và $IQ\parallel BP$, suy ra tam giác $IPQ$ và $BPC$ đồng dạng. Mà tam giác $BPC$ là tam giác cân tại $B$ (do $BP$ là trung trực đoạn $AC$), nên tam giác $IPQ$ cũng là tam giác cân.