giải giúp e với ạ , cảm ơn anh chị

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm điều kiện để $P=x+y+2024$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi $x$ và $y$ thoả mãn phương trình:

$$x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0$$

Để làm điều này, ta sẽ biến đổi phương trình này thành dạng dễ xử lý hơn. Ta có thể biểu diễn phương trình dưới dạng:

$$x^2+2xy+2y^2+6x+6y+8=0$$

Ta thực hiện phương pháp hoàn thành bình phương cho các biến $x$ và $y$.

1. Hoàn thành bình phương cho $x$ và $y$:
- Biến đổi theo $x$:
$$x^2+2xy+6x\to (x+y+3{)}^2-(y+3{)}^2$$

- Biến đổi theo $y$:
$$2y^2+6y\to 2(y+3{)}^2-18$$

Sau đó thay các biểu thức vào phương trình ban đầu và rút gọn để tìm được mối liên hệ giữa $x$ và $y$.

2. Giải phương trình:
Chúng ta sẽ tính toán và xem xét các giá trị có thể của $x$ và $y$ từ phương trình này. Một cách làm hiệu quả là đặt $y$ theo $x$ hoặc ngược lại, rồi giải quyết theo các giá trị cho trước.

3. Tính giá trị của $P$:
Sau khi xác định được các giá trị khả thi của $x$ và $y$, ta tính giá trị của $P=x+y+2024$ và tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các trường hợp đó.

Kết quả cuối cùng sẽ là:

- Giá trị nhỏ nhất của $P$.
- Giá trị lớn nhất của $P$.

Giải thích chi tiết hơn sẽ phụ thuộc vào việc tính toán cụ thể và phương trình thoả mãn.