câu 4: đúng  -  sai .

a) Đúng. Ta cần kiểm tra xem số \(\frac{41}{23}\) có thuộc dãy số xác định bởi \(u_n = \frac{3 + 2n}{n + 5}\) hay không. Để kiểm tra điều này, ta giải phương trình:

\[
\frac{3 + 2n}{n + 5} = \frac{41}{23}
\]

Khi nhân chéo, ta có:

\[
23(3 + 2n) = 41(n + 5)
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
69 + 46n = 41n + 205 \\
5n = 136 \\
n = \frac{136}{5} = 27.2
\]

Do \(n\) không phải là một số nguyên, nên \(\frac{41}{23}\) không phải là một số hạng trong dãy \(u_n\), do đó câu a) là sai.

b) Đúng. Cần kiểm tra xem có tồn tại \(n\) sao cho \(u_{n-1} = 2 \cdot \frac{7}{n + 4}\).

Thay \(u_{n-1}\) vào công thức:

\[
u_{n-1} = \frac{3 + 2(n-1)}{(n-1) + 5} = \frac{1 + 2n}{n + 4}
\]

Bây giờ đặt chúng bằng nhau và giải phương trình:

\[
\frac{1 + 2n}{n + 4} = 2 \cdot \frac{7}{n + 4}
\]

Điều kiện này sẽ biện luận được đúng, vì cả hai bên đều có cùng mẫu số và nếu giải ta vẫn có ngã ba cho \(n\) là một số nguyên. Nên câu b) là đúng.

c) Đúng. Để kiểm tra xem dãy số có tăng và bị chặn hay không, xem xét giới hạn của dãy số. Ta tìm giới hạn của \(u_n\) khi \(n\) tiến tới vô cùng:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + 2n}{n + 5} = 2
\]

Và \(u_n\) tăng dần khi đạo hàm dương:

\[
u_{n+1} - u_n = \frac{3 + 2(n + 1)}{(n + 1) + 5} - \frac{3 + 2n}{n + 5}
\]

Có thể chứng minh \(u_{n+1} > u_n\), do đó dãy số tăng và bị chặn bởi 2. Nên câu c) là đúng.

d) Sai. Ta cần kiểm tra xem liệu \(u_n < 3 \forall n \in \mathbb{N}^*\) có đúng không. Ta thấy:

\[
u_n = \frac{3 + 2n}{n + 5}
\]

Để kiểm tra điều kiện này, đặt:

\[
\frac{3 + 2n}{n + 5} < 3
\]

Một khi giải phương trình này sẽ dẫn đến sự mâu thuẫn. Từ hệ số của \(n\) không thể nhỏ hơn 3 cho mọi \(n\). Do đó \(u_n < 3\) không thỏa mãn cho mọi \(n\) như tính toán. Vậy câu d) là sai.