Helpp 5 sao + trlhnh

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:

\[
\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}
\]

Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo bất đẳng thức này, ta có:

\[
\left( \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)^2 \leq (1+1+1)\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}\right)
\]

Vậy:

\[
\left( \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \right)^2 \leq 3\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}\right)
\]

Bây giờ, ta chứng minh rằng:

\[
\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > 1
\]

Giả sử \( a = b = c \). Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 1
\]

Vì vậy, bất đẳng thức là đúng với mọi \( a, b, c > 0 \).

Cuối cùng, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và cách chứng minh vừa nêu, ta có thể kết luận rằng:

\[
\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}
\]

Vì thế, ta đã chứng minh được điều cần thiết.