Helpp 5 sao + trlhnh

2024-11-07 02:54:23

Câu trả lời này dùng AI, hãy kiểm tra lại trước khi sử dụng

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:

\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}

Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo bất đẳng thức này, ta có:

{(\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}})}^{2} \leq (1 + 1 + 1) (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b})

Vậy:

{(\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}})}^{2} \leq 3 (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b})

Bây giờ, ta chứng minh rằng:

\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > 1

Giả sử

a = b = c

. Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} > 1

Vì vậy, bất đẳng thức là đúng với mọi

a, b, c > 0

.

Cuối cùng, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và cách chứng minh vừa nêu, ta có thể kết luận rằng:

\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}

Vì thế, ta đã chứng minh được điều cần thiết.

Đăng phản hồi