Một nhà máy làm bao bì muốn sản xuất các vỏ hộp dạng hình chữ nhật có thể tích 216 cm³ và đáy hộp là hình vuông .Tìm chiều cao (cm) của hộp sao cho chi phí làm vỏ hộp là nhỏ  nhất

Để tìm chiều cao của vỏ hộp sao cho chi phí sản xuất tối thiểu, trước tiên ta cần hiểu rằng chi phí sản xuất tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt của hộp. Để tối ưu hóa diện tích bề mặt của vỏ hộp, ta sẽ giả định các thông số sau:

- Gọi a là cạnh của đáy (hình vuông).
- Gọi h là chiều cao của hộp.

Vì thể tích của hộp là 216 cm³, ta có công thức:

V = a² * h = 216.

Từ đó, ta có thể biểu diễn h theo a:

h = 216 / a².

Tiếp theo, ta cần tính diện tích bề mặt S của hộp. Diện tích bề mặt của một hộp chữ nhật có đáy là hình vuông được tính theo công thức:

S = 2(a²) + 4(ah).

Trong đó, 2(a²) là diện tích của 2 mặt đáy và 4(ah) là diện tích của 4 mặt bên của hộp.

Thay h vào công thức diện tích bề mặt:

S = 2(a²) + 4(a * (216 / a²))
= 2a² + 864/a.

Bây giờ, để tìm giá trị của a mà tại đó diện tích bề mặt là nhỏ nhất, ta sẽ lấy đạo hàm S theo a, rồi giải phương trình S' = 0:

S' = 4a - 864/a².

Đặt S' = 0:

4a - 864/a² = 0.

Giải phương trình này:

4a = 864/a²
=> 4a³ = 864
=> a³ = 216
=> a = 6 cm.

Bây giờ, ta thay giá trị của a vào công thức để tìm chiều cao h:

h = 216 / a²
=> h = 216 / (6²)
=> h = 216 / 36
=> h = 6 cm.

Vậy chiều cao h của vỏ hộp sao cho chi phí làm vỏ hộp là nhỏ nhất là 6 cm.