cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3 chứng minh rằng : a^4/(a+2)(b+2) + b^4/(b+2)(c+2) + c^4/(c+2)(a+2) ≥ 1/3

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \geq \frac{1}{3}
\]

với điều kiện \( a, b, c > 0 \) và \( a + b + c = 3 \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \right) \left( (a+2)(b+2) + (b+2)(c+2) + (c+2)(a+2) \right) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2
\]

Chúng ta sẽ tính \( (a+2)(b+2) + (b+2)(c+2) + (c+2)(a+2) \):

\[
(a+2)(b+2) = ab + 2a + 2b + 4
\]

Vì vậy:

\[
(a+2)(b+2) + (b+2)(c+2) + (c+2)(a+2) = ab + 2a + 2b + 4 + bc + 2b + 2c + 4 + ca + 2c + 2a + 4
\]

\[
= ab + bc + ca + 2(a + b + c) + 12 = ab + bc + ca + 6 + 12 = ab + bc + ca + 12
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa để có được một biểu thức khác cho \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

Chúng ta đã có \( (a^2 + b^2 + c^2)^2 \geq 3^2 = 9 \).

Từ đó, ta có:

\[
\left( \frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \right) \left( ab + ac + bc + 12 \right) \geq 9
\]

Khi chia cả hai vế cho \( ab + ac + bc + 12 \), ta có:

\[
\frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \geq \frac{9}{ab + ac + bc + 12}
\]

Để có thể kết luận, chúng ta cần chứng minh rằng \( ab + ac + bc + 12 \leq 27 \) trong trường hợp \( a + b + c = 3 \). Thực tế, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương:

\[
ab + ac + bc \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

Như vậy:

\[
ab + ac + bc + 12 \leq 3 + 12 = 15
\]

Suy ra:

\[
\frac{9}{ab + ac + bc + 12} \geq \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

Do đó:

\[
\frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \geq \frac{3}{5}
\]

Và cuối cùng:

Chúng ta cần xem xét lại bất đẳng thức mà chúng ta đặt ra và hoàn toàn có thể nói rằng với \( a + b + c = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), bất đẳng thức đã được chứng minh rằng:

\[
\frac{a^4}{(a+2)(b+2)} + \frac{b^4}{(b+2)(c+2)} + \frac{c^4}{(c+2)(a+2)} \geq \frac{1}{3}
\]

Vậy là chúng ta đã hoàn tất chứng minh.