cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3 chứng minh rằng : a^4/(a+2)(b+2) + b^4/(b+2)(c+2) + c^4/(c+2)(a+2) ≥ 1/3

Để chứng minh bất đẳng thức

$$\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\ge \frac{1}{3}$$

với điều kiện $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$$(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)})((a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2))\ge (a^2+b^2+c^2{)}^2$$

Chúng ta sẽ tính $(a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)$:

$$(a+2)(b+2)=ab+2a+2b+4$$

Vì vậy:

$$(a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)=ab+2a+2b+4+bc+2b+2c+4+ca+2c+2a+4$$

$$=ab+bc+ca+2(a+b+c)+12=ab+bc+ca+6+12=ab+bc+ca+12$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa để có được một biểu thức khác cho $a^2+b^2+c^2$:

$$a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{3}=\frac{9}{3}=3$$

Chúng ta đã có $(a^2+b^2+c^2{)}^2\ge 3^2=9$.

Từ đó, ta có:

$$(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)})(ab+ac+bc+12)\ge 9$$

Khi chia cả hai vế cho $ab+ac+bc+12$, ta có:

$$\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\ge \frac{9}{ab+ac+bc+12}$$

Để có thể kết luận, chúng ta cần chứng minh rằng $ab+ac+bc+12\le 27$ trong trường hợp $a+b+c=3$. Thực tế, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương:

$$ab+ac+bc\le \frac{(a+b+c{)}^2}{3}=\frac{9}{3}=3$$

Như vậy:

$$ab+ac+bc+12\le 3+12=15$$

Suy ra:

$$\frac{9}{ab+ac+bc+12}\ge \frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$

Do đó:

$$\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\ge \frac{3}{5}$$

Và cuối cùng:

Chúng ta cần xem xét lại bất đẳng thức mà chúng ta đặt ra và hoàn toàn có thể nói rằng với $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$, bất đẳng thức đã được chứng minh rằng:

$$\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\ge \frac{1}{3}$$

Vậy là chúng ta đã hoàn tất chứng minh.