Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị dương với mọi x:

1. Đối với biểu thức 3) \(3x^2 - 6x + 5\):
- Tính trọng số của bất phương trình: Để chứng minh bất phương trình này dương với mọi x, ta kiểm tra định thức (D):
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 435 = 36 - 60 = -24.
- Vì D < 0, đồ thị của hàm bậc hai này không cắt trục hoành và vì hệ số a > 0 (3 > 0), nên biểu thức này dương với mọi x.

2. Đối với biểu thức 4) \(x^2 + x + 1\):
- Tính D:
D = 1^2 - 411 = 1 - 4 = -3.
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (1 > 0), biểu thức này dương với mọi x.

3. Đối với biểu thức 5) \(x^2 + 10x + 27\):
- Tính D:
D = 10^2 - 4127 = 100 - 108 = -8.
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (1 > 0), biểu thức này dương với mọi x.

4. Đối với biểu thức 6) \(\frac{1}{4} x^2 + x + 3\):
- Tính D:
D = 1^2 - 4\frac{1}{4}3 = 1 - 3 = -2.
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (\(\frac{1}{4} > 0\)), biểu thức này dương với mọi x.

5. Đối với biểu thức 7) \(\frac{4}{9} x^2 + 4x + 5\):
- Tính D:
D = 4^2 - 4\frac{4}{9}5 = 16 - \frac{80}{9} = \frac{144}{9} - \frac{80}{9} = \frac{64}{9} > 0.
- Mặc dù D > 0, ta kiểm tra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm này. Như hệ số a > 0, hàm này có cực đại dương. Do đó, biểu thức này lớn hơn 0 với mọi x.

6. Đối với biểu thức 8) \(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\):
- Tính D:
D = \(\frac{2}{3}^2 - 41\frac{1}{3} = \frac{4}{9} - \frac{4}{3} = \frac{4}{9} - \frac{12}{9} = -\frac{8}{9}.\)
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (1 > 0), biểu thức này dương với mọi x.

7. Đối với biểu thức 9) \(x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}\):
- Tính D:
D = \(\frac{2}{5}^2 - 41\frac{1}{5} = \frac{4}{25} - \frac{4}{5} = \frac{4}{25} - \frac{20}{25} = -\frac{16}{25}.\)
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (1 > 0), biểu thức này dương với mọi x.

8. Đối với biểu thức 10) \(64x^2 - 8x + 1\):
- Tính D:
D = (-8)^2 - 4641 = 64 - 256 = -192.
- Vì D < 0, hàm không cắt trục hoành, với a > 0 (64 > 0), biểu thức này dương với mọi x.

Tất cả các biểu thức trên đều được chứng minh là dương với mọi giá trị x bằng cách kiểm tra định thức và các điều kiện a, b, c trong các trường hợp này.