Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Qua B,C kẻ các đường thẳng vuông góc với AB,AC cắt nhau tại K. a) Tứ giác BHCK là hình gì Vì sao? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh H, M,

a) Tứ giác BHCK là một hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần xem xét các góc và tính chất của tứ giác này. Vì BE và CF là các đường cao của tam giác ABC, nên chúng tạo thành các góc vuông với AB và AC. Khi chịu dựng đường thẳng vuông góc từ B đến AC và từ C đến AB, ta có B-K vuông góc với AC và C-K vuông góc với AB. Như vậy, cả hai cặp cạnh BH và CK cũng vuông góc với nhau.

Do đó, trong tứ giác BHCK, có bốn góc vuông và mỗi cặp cạnh đối diện đều song song. Vậy tứ giác BHCK là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh H, M, K thẳng hàng, ta cần xem xét vị trí của các điểm này. M là trung điểm của BC, do đó, BM = MC. Đường thẳng đi qua H và K được dựng vuông góc với AB và AC, điều này có nghĩa là đường thẳng HK chia tam giác ABC thành hai phần đối xứng. Từ đó, xét các tam giác BHK và CHK, vì BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC, nên chúng đối xứng qua đoạn thẳng HK. Điều này dẫn đến việc H, M, K nằm trên một đường thẳng.

c) Để chứng minh BCKI là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh BC và KI song song, và đồng thời chúng có chiều dài bằng nhau. Ta đã biết rằng đường thẳng HG vuông góc với BC, từ đó, G là trung điểm của đoạn HI có nghĩa là HG = GI.

Vì H thuộc đường thẳng vuông góc từ tứ giác BCKI này đến BC, ta có thể chứng minh rằng hai cạnh BK và CI song song. Tổng hợp lại, chúng ta có BCKI là hình thang cân khi BC và KI song song và có chiều dài bằng nhau.