Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m²-1)x²+2(m+1)x-6=0 vô nghiệm

Để phương trình (m²-1)x² + 2(m+1)x - 6 = 0 vô nghiệm, chúng ta cần điều kiện rằng Delta (Δ) của phương trình phải nhỏ hơn 0.

Phương trình đã cho có dạng chuẩn ax² + bx + c với:
- a = m² - 1
- b = 2(m + 1)
- c = -6

Công thức tính Delta (Δ) là:
Δ = b² - 4ac

Thay a, b, c vào công thức Delta, ta có:
Δ = [2(m + 1)]² - 4(m² - 1)(-6)

Tính Δ:
Δ = 4(m + 1)² + 24(m² - 1)
Δ = 4(m² + 2m + 1) + 24m² - 24
Δ = 4m² + 8m + 4 + 24m² - 24
Δ = 28m² + 8m - 20

Để phương trình vô nghiệm, chúng ta cần:
Δ < 0
=> 28m² + 8m - 20 < 0

Giải bất phương trình bậc 2 này:
28m² + 8m - 20 = 0

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
m = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Với a = 28, b = 8, c = -20:
b² - 4ac = 8² - 428(-20) = 64 + 2240 = 2304

Tính nghiệm:
m = (-8 ± √2304) / (2 * 28)
m = (-8 ± 48) / 56

Hai nghiệm là:
1. m1 = (40) / 56 = 20/28 = 5/7
2. m2 = (-56) / 56 = -1

Bây giờ chúng ta có hai nghiệm là m1 = 5/7 và m2 = -1. Để xác định khoảng mà bất phương trình 28m² + 8m - 20 < 0, ta kiểm tra giá trị của phương trình tại các điểm phân tách: m = -1 và m = 5/7.

1. Kiểm tra với m < -1 (ví dụ m = -2):
Δ = 28(-2)² + 8(-2) - 20 = 28*4 - 16 - 20 = 112 - 36 = 76 > 0

2. Kiểm tra với -1 < m < 5/7 (ví dụ m = 0):
Δ = 280² + 80 - 20 = -20 < 0

3. Kiểm tra với m > 5/7 (ví dụ m = 1):
Δ = 281² + 81 - 20 = 28 + 8 - 20 = 16 > 0

Từ các kết quả trên, bất phương trình 28m² + 8m - 20 < 0 đúng trong khoảng -1 < m < 5/7.

Vậy, tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình vô nghiệm là:
m ∈ (-1, 5/7).