A=1+2+2^2+2^3+...+2^41 Tìm số dư khi A chia cho 5

Để tính A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^41, chúng ta có thể nhận thấy đây là một chuỗi số hạng hình học với số hạng đầu a = 1, công bội r = 2 và số hạng cuối là 2^41.

Công thức tính tổng của một chuỗi số hạng hình học là:

S_n = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- n là số hạng.
- a là số hạng đầu.
- r là công bội.

Ở đây, số hạng đầu a = 1, công bội r = 2 và số hạng cuối là 2^41 (tức là chúng ta có n = 41 + 1 = 42 hạng trong chuỗi từ 0 đến 41).

Áp dụng vào công thức, chúng ta có:

A = 1 * (2^(42) - 1) / (2 - 1) = 2^42 - 1

Tiếp theo, để tìm số dư của A khi chia cho 5, chúng ta cần tính 2^42 mod 5. Để làm điều này, ta có thể sử dụng định lý số dư, cụ thể là định lý về chu kỳ của lũy thừa.

Ta sẽ tính các số dư của 2^n khi chia cho 5:

- 2^1 mod 5 = 2
- 2^2 mod 5 = 4
- 2^3 mod 5 = 3
- 2^4 mod 5 = 1

Chúng ta thấy rằng chu kỳ lặp lại sau 4 (tức là 2^1, 2^2, 2^3, 2^4 mod 5).

Để tìm 2^42 mod 5, chúng ta chia 42 cho 4:

42 mod 4 = 2

Điều này có nghĩa là 2^42 mod 5 có cùng số dư với 2^2 mod 5.

Từ đó, ta có:

2^42 mod 5 = 2^2 mod 5 = 4

Bây giờ chúng ta quay lại tính A:

A = 2^42 - 1, do đó:

A mod 5 = (2^42 mod 5) - 1 mod 5 = 4 - 1 = 3

Vậy Số dư khi A chia cho 5 là 3.